Задача №1 Пусть m и n количество цифр в числах 2 1971 и 5 1971. Тогда 10 m 1 1971 m, 10 n - shikardos.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Задача №1 Пусть m и n количество цифр в числах 2 1971 и 5 1971. Тогда 10 m 1 1971 - страница №1/1

Дистанционная олимпиада по математике 10 класс (II тур)

Задача №1

Пусть m и n – количество цифр в числах 21971 и 51971. Тогда  10m–1 < 21971 < 10m,  10n–1 < 51971 < 10n.  Отсюда  10m+n–2 < 101971 < 10m+n,  следовательно,  m + n = 1972.

Ответ: выписано 1972 цифры.

Задача №2

(x-1)(x-3)(x+5)(x+7)=297

(x-1) (x+5) (x-3) (x+7)=297

(x2+4x-5)(x2+4x-21)=297

Заметив общую часть, заменим ее неизвестным:

X2+4x= a

(a-5)(a-21)=297

a2-26a-192=0

D=262+4*192=1444


a1==32; a2== -6

x2+4x=32 x2+4x=-6

x2+4x-32=0 x2+4x+6=0

D=16+128=144 D=16-24=-8

X1= = -8 Нет корней

X2==4

Ответ: 4;-8


Задача №3

Найти некоторое четырехзначное число abcd кратное 7 и представляющие собой сумму куба и квадрата некоторого целого числа.

Решение:

Допустим, что t – это некоторое число, тогда искомое будет равняться t2+t3. Разложим на множители: t*t*(t+1), тогда, чтобы все число делилось на 7, каждый множитель должен делиться на 7.

Чтобы некоторое число было четырехзначным, t должно быть двухзначным.

Первое подходящее число – 13, т.к. 13+1 делиться на 7. 132+133= 2366; 2366/7 = 338.

Второе – 14, т.к. 14 делиться на 7. 142+143= 2940; 2940/7 = 420.

Третье – 20, 20+1 делиться на 7. 202+203 = 8400; 8400/7 = 1200.

Четвертое – 21, 21 делиться на 7. 212+213 = 9702; 9702/7 = 1386.

Далее, к условию подходит число 27, но 272+273 = 17496. Оно пятизначное, что не удовлетворяет условию.

Ответ: 2366,2940,8400,9702.

Задача №4

Зная, что x2+x+1=0, определить x14 +

Разделим уравнение x2+x+1=0 на x:

+ + = 0

x+1+ = 0

x+ = -1

Умножим уравнение x2+x+1=0 на x:

x3+x2+x=0

x3=-(x2+x)=1 т.к. из уравнения x2+x+1=0 выражаем 1; 1=-(x2+x)

Мы знаем, что x3=1, поэтому:

x14 + = (x3)4x2+ = 14x2 +

(x + )2 = x2 + 2*x + = x2+ -2

X2+ = (x + gif" align=absmiddle hspace=8>)2- 2 = 1-2=-1

Ответ: -1

Задача №5

Дано:


y =

Найти: унаиб -? и yнаим - ?

Решение:


  1. Выделяем целую часть

y = = = 2

  1. Раскрываем скобки

2 = 2 -

  1. Исследуем полученную функцию

  1. Числитель всегда меньше или равен знаменателю.

Когда они равны по модулю:

2x+4 = x2+4x+5 x2+4x+5 = -2x-4

X2+2x+z = 0 x2+6x+9 = 0

(x+1)2 = 0 (x+3)2 = 0

X = -1 x = -3


  1. Возможно два случая развития функции:

y = 2 – 1 = 1

y = 2 +1 = 3 т.к.максимальное и минимальное значения дроби 1 и -1

т.е максимальное значение функции - 3, минимальное - 1.

Ответ: у(наим)=1, у(наиб)=3



Задача №6

Доказать, что в круге радиусом 10 нельзя поместить 400 точек так, чтобы расстояние между каждыми двумя было больше 1.

Доказательство:

Допустим, что вместо круга мы имеем квадрат со сторонами 20 см.

Тогда, максимально количество точек, помещающихся в этот квадрат – 400 (если расстояние между ними будет равно 1).

Вписав в него круг, радиусом 10 см, некоторое количество точек окажутся за окружностью ( как минимум 4, находящиеся на вершинах квадрата). В итоге получаем, что в круг радиусом 10 см, нельзя вписать точек так, чтобы расстояние между каждыми двумя было больше 1.

20 см

Задача № 7

Дано: a>b>0

Среднее арифметическое:

Среднее геометрическое:

Доказать: является числом, находящимся между чисел и

Решение:



  1. =

  2. Если больше , то <0

  3. Доказываем:

= = = = = >0, так как , >0 и >0 (следует из условия a>b>0).

  1. Если меньше , то >0

  2. Доказываем:

= = = >0

Задача №9

Доказать, что:

Cosα + cos (72⁰+α) + cos (144⁰+α) + cos (216⁰+α) + cos (288⁰+α)

Не зависит от α.

Решение:


  1. Сложим первое слагаемое со вторым, и третье слагаемое с четвертым:

Cosα + cos (72⁰+α) + cos (144⁰+α) + cos (216⁰+α) + cos (288⁰+α) = 2cos (α+36⁰)*cos 36⁰ - 2cosα*cos36⁰+ cos (288⁰+α) = 2cos36⁰ (cos (α+36⁰) – cos α) + cos (288⁰+α) = 2cos36⁰ (-2sin (α+18⁰)*sin18⁰) + cos (288⁰+α) = -4sin18⁰*cos36⁰*sin (α+18⁰) + cos (288⁰+α) .

2. Пользуясь формулой, sin2x = 2sinx*cosx, вычисляем:

-() *sin (α+18⁰) + cos (288⁰+α) =- *sin (α+18⁰) + cos (288⁰+α) = - *sin (α+18⁰) + cos (288⁰+α) = - *sin (α+18⁰) + cos (288⁰+α) = - *sin (α+18⁰) + cos (288⁰+α) = -sin (α+18⁰) + cos (288⁰+α).

3. -sin (α+18⁰) + cos (288⁰+α) = -sin (α+18⁰) + cos (270⁰+18⁰+α) = -sin (18⁰+α) + sin (18⁰+α) = 0



Задача №10

I способ


Занявшие четыре последних места, сыграли друг с другом 6 партий, разделив между собой 6 очков. Поэтому, у шахматиста, занявшего второе место, не может быть менее шести очков.
  Докажем, что и более шести очков у него быть не может. Действительно, 7 очков у него может быть только в одном случае: если он выиграл у всех игроков, занявших более низкие места, и не проиграл победителю. Но тогда количество очков победителя турнира будет не больше, чем у шахматиста занявшего второе место.
  Следовательно, шахматист на втором месте набрал ровно 6 очков, значит, игроки, занявшие четыре последних места, проиграли все партии игрокам, занявшим места выше них.

Ответ. Выиграл шахматист, занявший третье место.

II способ

Решение: Для начала нужно посчитать количество сыгранных партий и очков.

Каждый игрок сыграл по 7 партий, т.е. победитель мог набрать максимум 7 очков; тогда игроки, занявшие каждое последующее место, набрали на одно очко меньше предыдущего.

1-е место – 7 очков

2-е место – 6 очков

3-е место – 5 очков

4-е место – 4 очка

5-е место – 3 очка

6-е место – 2 очка 6 очков

7-е место – 1 очко

8-е место – 0 очков

Именно в таком случае, шахматист, занявший второе место, набрал столько же очков, сколько четыре последних вместе. Тогда шахматист, занявший 3-е место, набрал 5 очков, а 7-е место – 1 очко.

Ответ. Выиграл шахматист, занявший третье место.

Выполнила

Фамилия Акчурина

Имя Сабина

Отчество Ильдаровна

Класс 10

Школа МОБУ СОШ №2

Село Киргиз-Мияки

Район Миякинский

Ф.И.О. Хафизова Раушания Хамитовна