Университетские исследования, 2013 о сравнении устойчивых оценок, основанных на неравенстве Чебышева - shikardos.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Университетские исследования, 2013 о сравнении устойчивых оценок, основанных на неравенстве - страница №1/1


Университетские исследования, 2013

УДК 519.2
О сравнении устойчивых оценок, основанных на неравенстве Чебышева.
Чечулин В. Л., Грацилёв. В. И.

Пермский государственный национальный

исследовательский университет, ММФ

Россия, 614990, г. Пермь, ул. Букирева, 15,



chechulinvl@mail.ru , тел. (342)-2-396-424.
В статье сравниваются устойчивые оценки, основанные на неравенстве Чебышева: двумерный метод взвешивания и метод взвешивания, основанный на суперпозиции одномерных методов взвешивания.

Ключевые слова: сравнение устойчивых оценок, неравенство Чебышева, суперпозиция одномерных методов взвешивания.

© Чечулин В. Л., Грацилёв В. И., 2013.


1. Предисловие.

Методы устойчивого оценивания, основанные на неравенстве Чебышева, были рассмотрены ранее в [1] и [2]. Имеет смысл распространить из аналитических соображений методы устойчивого оценивания, основанные на неравенстве Чебышева, на многомерный случай. В случае использования многомерного взвешивания усложняется процедура вычислений и, поэтому, возникает законный вопрос: а можно ли вместо многомерного взвешивания использовать суперпозицию одномерных взвешиваний? Этот вопрос и рассматривается в данной статье.


2. Способы оценивания

a. Двумерный.

Способ взвешивания посредством неравенства Чебышева рассматривался ранее в статье [1]. Далее рассматривается двумерный случай взвешивания. По сравнению с одномерным методом, в двумерном взвешивающая функция есть функция от двумерных векторов x и y соответствующих наблюдений выборки, зависящая от расстояния между этими векторами:



(1)

Функция влияния строится между каждой парой наблюдений , что графически представлено на рис. 1 и 2.



b. Двумерная суперпозиция одномерных оценок

Данный подход отличается от предыдущего тем, что основан на алгоритме для одномерной выборки.

Для двумерного случая, когда имеется 2 координаты, мы рассматриваем их отдельно. Для каждой точки по каждой координате вычисляются веса  и . Пользуясь принципом суперпозиции, мы перемножаем веса по каждой координате у каждой точки:

(2)

Новые веса необходимо перенормировать так, чтобы их сумма была равна единице. Данный подход применим и для многомерных данных (более двух).



Рис. 1. Функция влияния оценки положения для двумерного случая



Рис. 2. Функция влияния оценки положения для двумерного случая (на примере конкретных точек)


Принцип суперпозиции применим в данном случае, так как наши оси ортогональны, вследствие чего координаты линейно не зависят друг от друга1.
3. Сравнение оценок

Используется выборка из 1000 наблюдений. Каждое наблюдение идет в паре из двух параметров. Наблюдения искусственно зашумляются. Доля шума постепенно увеличивается от 0 до 100%. Наблюдения задаются с помощью алгоритма, описанного в [3]. Истинные данные имеют стандартное нормальное распределение N(0,1)N(0,1), а шум равномерное, на отрезке R(0,10)R(0,10).

Рассмотрим оценки средних, см. рис. 3, 4.

Рис. 3. Сравнение оценок средних, полученных двумерным методом и с помощью суперпозиции для первого параметра



Рис. 4. Сравнение оценок средних, полученных двумерным методом и с помощью суперпозиции для второго параметра


По результатам вычислительных экспериментов, показанных на рис. 3, 4, методы взвешивания а) двумерный б) суперпозиция одномерных показывают практически одинаковые результаты на всем диапазоне зашумления выборки от 0 до 100%; кроме того, обе этих устойчивых оценки сравнимы по устойчивости с медианой.

Сравним устойчивые методы с помощью критерия Хи-квадрат:


Таблица 1. Данные.

Процент шума

Среднее (двумерный) по 1 коорд.

Среднее (двумерный) по 2 коорд.

Среднее (суперпозиция) по 1 коорд.

Среднее (суперпозиция) по 2 коорд.

0

0,041197

-0,044941

0,038937

-0,048059

10

0,059623

0,019782

0,045478

0,024093

20

0,080573

0,055832

0,068903

0,06511

30

0,189211

0,134027

0,187492

0,136768

40

0,422066

0,389892

0,387015

0,371495

50

0,707168

0,741724

0,744232

0,772342

60

1,258696

1,366938

1,375682

1,530276

70

2,065145

2,117206

2,274308

2,443831

80

3,150682

3,282618

3,340288

3,547554

90

4,189907

4,480014

4,27973

4,550493

100

5,222451

4,988928

5,264951

4,957874

Для сравнения выборок вычислим значение статистики критерия Хи-квадрат [4]:



(3)

где


– фактическая частота в i-й строке, j-м столбце;

– ожидаемая частота в i-й строке, j-м столбце;

r – число строк;

c – число столбцов.

Значение статистики показывает вероятность того, что значение статистики фактической выборки не меньше, чем ожидаемой.

Проверим гипотезу об однородности двух выборок:

1) Сначала в роли фактического интервала выступают 2 и 3 столбцы таблицы 1, в качестве ожидаемого – столбцы 4 и 5. Значение статистики критерия в этом случае равно 0,999999987.

2) Затем фактическим интервалом являются столбцы 4 и 5, а 2 и 3 – ожидаемым . Значение статистики критерия равно 0,99999998.

В обоих случаях значение статистики критерия близко к 1, а это означает однородность выборок. Поэтому для одномодальных двумерных распределений корректно использовать суперпозицию одномерных распределений.


4.Заключение

В данной статье рассмотрены два способа взвешивания: суперпозиция одномерных взвешиваний и двумерное взвешивание. Суперпозиция не отличается от двумерного взвешивания, и, поэтому, допустимо использовать суперпозицию одномерных взвешиваний2, что упрощает процесс оценивания.


Литература

1. Чечулин В. Л., Грацилёв В.И., Качественное сравнение способов устойчивого оценивания // Университетские исследования, 2012 (раздел: математика)

URL: www.uresearch.psu.ru/files/articles/634_52153.doc

2. Чечулин В. Л., К обоснованию метода устойчивого оценивания посредством неравенства Чебышева // Вестник Пермского ун-та, сер. Математика. Механика. Информатика, 2010, вып.  2 (2), сс. 29–32.

3. Преобразование Бокса — Мюллера

URL: http://ru.wikipedia.org/wiki/ Преобразование_Бокса_—_Мюллера

4. Ивченко Г. И., Медведев Ю. И., Введение в математическую статистику. – М.: Издательство ЛКИ, 2010. – 600 с.
Comparison of stable estimates based on the Chebyshev inequality.
V. L. Chechulin, V. I. Gratsilev

Perm State University, MMF



Russia, 614990, Perm, Bukirev st., 15.

chechulinvl@mail.ru.
The article compares the robust estimates based on Chebyshev inequality: two-dimensional method of weighing and weight method, based on the superposition of one-dimensional weighting methods.

Keywords: comparison of stable estimates Chebyshev inequality, the superposition of one-dimensional weighting methods.

1 Случай с линейно зависимыми координатами пространства подлежит отдельному рассмотрению

2 Для одномодальных распределений.

Страница из