Учебные элементы Содержание Учебные действия - shikardos.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Учебные элементы Содержание Учебные действия - страница №1/1

Модуль: Действия над событиями.


Учебные элементы

Содержание

Учебные действия

УЭ1

Действия над событиями.

Суммой, или объединением, двух событий называется событие, со­стоящее в появлении хотя бы одного из них. Сумма двух событий А и В обозначается через А+В или . Аналогично определяется и обозна­чается сумма п событий - событие, состоящее в появлении хотя бы одного из них. Сумму п событий А1, А2, ..., Ап обозначают так:



Произведением или пересечением, двух событий называется событие, состоящее в одновременном их появлении. Произведение двух событий A и В обозначается через АВ или . Аналогично определяется и обозначается произведение в случае большего числа событий.

Сложение и умножение вероятностей

Теорема сложения вероятностей двух событий

Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:



Теорема сложения вероятностей двух несовместных событий

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:



Теорема сложения вероятностей n несовместных событий

Вероятность суммы п несовместных событий А1, А2.., Аn равна сумме вероятностей этих событий:

Сумма вероятностей событий образующих полную группу, равна единице:

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Вероятность события В при условии, что произошло событие А, на­зывается условной вероятностью события В и обозначается так: Р(В/А),или РА(В).



Теорема умножения вероятностей

Вероятность произведения двух событий равна произведению веро­ятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло:

Р(АВ) = Р(А)Р(В/А), Р(АВ) = Р(В)Р(А/В).

Событие В не зависит от события А, если Р(В/А) = Р(В),

т.е. вероятность события В не зависит от того, произошло ли событие А.



Теорема умножения вероятностей двух независимых событий

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

Р(АВ) = Р(А)Р(В).



Теорема умножения вероятностей n событий

Вероятность произведения п событий равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных, вычисленные в предположении, что все предыдущие события наступили:

В частности, для трех событий А, В, С формула принимает вид



gif" align=absmiddle width="201px" height="22px">

Теорема умножения вероятностей n независимых событий

Если события независимы, то вероятность их произведения равна произведению вероятностей этих событий:

Р(А1А2...Ап) = Р(А1)Р(А2)...Р(Аn).

Если независимые события имеют одинаковую вероятность, равную р, то вероятность появление хотя бы одного из этих событий выражается формулой





Пример 1:

Подбрасывается игральный кубик. Чему равна вероятность того, что выпадет четное число очков?



Решение:

Введем обозначения : A- «выпало четное число очков», Bk - «выпало k очков» () событие А означает , что наступило хотя бы одно из событий , т.е. . Поскольку события несовместны, то можно воспользоваться формулой суммой несовместных событий, учитывая, что :





Пример 2:

В урне находится 8 красных и 6 голубых шаров. Из урны последовательно без возвращения извлекается 3 шара. Найти вероятность того, что все 3 шара голубые.



Решение:

Введем обозначения : A- «первый шар голубой», B- «второй шар голубой», С – «третий шар голубой», D – «все три шара голубые» тогда .









Задачи:

Используя теоремы умножения и суммы решить данные задания

  1. В урне 40 шариков: 15 голубых, 5 зеленых и 20 белых. Какова вероятность того, что из урны будет извлечен цветной шарик? (1/2)

  2. Подбрасывается два игральных кубика. Найти вероятность события А-«сумма выпавших очков не превосходит четырех».(1/6)

  3. Спортсмен стреляет по мишени, разделенной на три сектора. Вероятность попадания в первый сектор 0,4, во второй -0,3. какова вероятность попадания либо в первый, либо во второй сектор?(0,7)

  4. Вероятность попадания в мишень для первого спорт­смена 0,85, а для второго - 0,8. Спортсмены независимо друг от друга сделали по одному выстрелу. Найти вероятность того, что в мишень попадет хотя бы один спортсмен?(0,97)

  5. Симметричная монета подброшена три раза. Какова ве­роятность того, что цифра выпадет ровно два раза? (3/8)

  6. С первого станка на сборку поступило 200 деталей, из которых 190 стандартных; со второго - 300, из которых 280 стандартных. Найти вероятность события А, состоящего в том, что наудачу взятая деталь будет стандартной, и условные вероятности его относительно событий В и , если событие В состоит в том, что деталь изготовлена на первом станке. (0.94, 0.95, 0,93)

  7. Три стрелка попадают в мишень соответственно с веро­ятностями 0,85, 0,8, 0,7. Найти вероятность того, что при одном выстреле хотя бы один из них попадет в мишень.(0,991)

  8. В урне 6 голубых, 5 красных и 4 белых шара. Из урны поочередно извлекают шар, не возвращая его обратно. Найти вероят­ность того, что при первом извлечении появится голубой шар (событие А), при втором - красный (событие В), при третьем - белый (событие С). (0,044)

  9. Вероятность попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: р1= 0,75, р2 = 0,80, p3 = 0,85 . Какова вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех этих орудий? (0,925)

  10. Сколько раз нужно подбросить два игральных кубика, чтобы вероятность выпадения хотя бы один раз двух шестерок была бы больше 1/2? (25)

  11. Вероятность того, что событие появится хотя бы один раз в трех независимых испытаниях, равна 0,973. Найти вероятность появления события в одном испытании (предполагается, что во всех испытаниях вероятность появления события одна и та же). (0.7)



Прочитать, коротко записать материал.

Примеры записать в тетрадь.

Выполнить задания.