«Сумма n -первых членов арифметической прогрессии» - shikardos.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
«Сумма n -первых членов арифметической прогрессии» - страница №1/1

Предмет: алгебра

Тема урока: «Сумма n-первых членов арифметической прогрессии».

Тип урока: ОНЗ

Автор: Угарова Ю.Г., учитель математики МБОУ ООШ № 20 п. Никель Мурманской области

Основные цели урока.

Предметные:

1) формировать умение строить формулы на примере формулы нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии;

2) организовать работу по получению информации учащимися об истории возникновения и бывшего названия суммы n-первых членов арифметической прогрессии.

Личностные:

1) развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся на уроке посредством анализа арифметической прогрессии, вывода формул;

2) с помощью решения задач исследовательского характера и самостоятельного вывода учащимися формул, развивать интеллектуальные качества личности школьников такие, как самостоятельность, гибкость, способность к оценочным действиям, обобщению.

Метапредметные:

1) формируем умение фиксировать шаги учебной деятельности;

2) формировать умение проводить самопроверку и самооценку своей деятельности;

3) тренировать умение фиксировать затруднение в деятельности, фиксировать причину возникшего затруднения;

4) формировать умение ставить цель деятельности, отбирать средства для ее реализации;

5) прививать учащимся интерес к предмету посредствам применения информационных технологий (с использованием компьютера), решения исторических задач;

6) формировать умения аккуратно и грамотно выполнять математические записи.

Оборудование: компьютер, проектор, экран.



Раздаточный материал: чистые листы, таблицы, листочки для рефлексии.


  • Ход урока:

1. Мотивация к учебной деятельности

  • Учитель читает высказывание:


Считать несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового, ничего не прибавил к своему образованию.

Ян Амос Коменский (чешский педагог, живший в 17 веке)


− Я хочу, чтобы этот час, который длится урок, стал для вас счастливым, принес много открытий, опыта и хорошего настроения.

− Какую тему вы начали изучать? («Числовые последовательности».)

− С каким особым видом числовой последовательности познакомились? (С арифметической прогрессией.)

− Что вы научились находить в арифметической прогрессии?(n-ый член арифметической прогрессии по формуле.)

− Сегодня вас ждут новые открытия в мире последовательностей. Как вы выясняете, что не знаете? (Повторяем необходимое, подводим итог повторения, работаем с пробным заданием, если оно не получается, фиксируем своё затруднение, находим место и причину затруднения.)

− Что вы сейчас повторили? (Шаги учебной деятельности.)

− А если вы сами определяете, что вы не знаете, находите способ, чтобы снять затруднение, какая же функция будет у меня? (Организовывать нашу работу и помогать.)

− Чему вы ещё учитесь на уроках? (Учимся учиться.)

− Молодцы! В добрый путь!


2. Актуализация знаний и фиксация затруднения в пробном учебном действии.

− А теперь давайте проверим, насколько вы готовы двигаться дальше.



  • Учащимся предлагается самостоятельно выполнить следующие задания с последующей самооценкой:

  • Являются ли арифметическими прогрессиями следующие последовательности чисел:

а) 1; 2; 3;4; 5; 6; .. ,

б) 5; 5; 5; 5; 5; .. ,

г) 1; 2; 22; 23; 43; 44; …


  • Выписать первые пять членов последовательности (сn), если с1 = 3, сn+1 = сn + 4.

  • Дана последовательность чисел (хп): 1, 4, 7, 10, 13, 16, …. Назовите третий, пятый, первый, восьмой, шестой члены последовательности.

  • Последовательность задана первыми членами: 1, 5, 9… Задайте формулу общего вида.

  • Последовательность (аn), задана формулой аn = 2n + 3. Является ли членом последовательности число 9?

− Сверьте свои решения с эталоном.

− Что вы сейчас повторили? (Мы повторили понятие арифметической прогрессии, рекуррентную формулу, формулу n-го члена.)

− Какое следующее задание я вам предложу? (Задание для пробного действия.)

−С какой целью вам предлагается пробное задание? (Чтобы понять, что нового сегодня будет на уроке.)

− Перенесемся в мир Древнего Египта, страны великих достижений человеческой мысли, великих астрономов и математиков. На этом слайде мы видим, как создавалась пирамида. Египетские пирамиды были построены благодаря не только упорному труду, но и математической мысли. Достижения Египетских математиков непостижимы не только по своему совершенству, но и по точности математических расчетов. Математические правила, нужные для земледелия, астрономии и строительных работ, древние египтяне записывали их на стенах храмов или на папирусах.
картинка 1 из 8файл:rhind mathematical papyrus.jpg

− Самый большой, сохранившийся до наших дней, древнеегипетский математический текст – это папирус писца 18–17 веков до нашей эры Ахмеса. Он имеет размер 5,25 м на 33 см, содержит 84 задачи. Когда его расшифровали, то узнали такую вещь. Если камушки (или другие предметы) разложить рядами в форме треугольника так, что в первом ряду положить 1 камень, во втором – 2 и т.д., то их количество называли «треугольным числом». Таким образом, треугольные числа образуют такую последовательность:



a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, …, а сумма этих камушков образует треугольное число

− Обозначим его Sn = 1 + 2 + 3 + 4 + … + n. Где n – это n-й член этой последовательности. И в зависимости от количества членов можно находить любое треугольное число. А какая у нас получилась последовательность? (Арифметическая прогрессия.)

− Что же такое треугольное число? Это и есть сумма n-первых членов арифметической прогрессии. В современной математике нет такого понятия, как треугольное число, в современной науке его называют сумма n-первых членов арифметической прогрессии.

− Сформулируйте тему урока. (Сумма n-первых членов арифметической прогрессии.)

− Так мы и назовем тему нашего урока. Запишите ее в тетради.

− И так задание. Пусть членов последовательности будет 100. Нужно найти сотое треугольное число или, другими словами, сумму n-первых членов арифметической прогрессии:



S100 = 1 + 2 + 3 + 4 + … + 100.

− Что вы теперь будете делать с этим заданием? (Мы попробуем выполнить его.)

− С какой целью вы будете пробовать? (С целью понять, где у нас затруднение, а может быть найти способ для выполнения задания.)


  • На работу отводится 1 минута. После истечения времени.

− У кого нет ответа? Сформулируйте своё затруднение. (Я не смог найти сумму 100 первых членов арифметической прогрессии.)

− У кого есть результат, покажите. Вы можете доказать, что вы правильно выполнили задание, т.е. вы можете предъявить правило нахождения сумму n-первых членов арифметической прогрессии? (Нет.)

− Сформулируйте затруднение. (Мы не можем доказать правильность своего решения.)

− Вы хотите разобраться, почему так произошло? (Да.)



3. Выявление места и причины затруднения

– Что вы должны были сделать? (Найти быстро значение выражения.)

− Как вы действовали? (…)

– Почему у вас возникло затруднение? (У нас нет быстрого, простого способа нахождения суммы n-первых членов арифметической прогрессии.)



4. Построение проекта выхода из затруднения

− Уточните цель своей деятельности. (Надо составить алгоритм, вывести формулу, с помощью которой, быстрее можно найти сумму n-первых членов арифметической прогрессии.)

− Чем же можно воспользоваться, чтобы упростить вычисления? (Переместительным, сочетательным, распределительным законами сложения чисел.)

− Как вы будете реализовывать цель?



5. Реализация построенного проекта

− Сегодня вы будете работать в группах. На выполнение 3 минуты. После выполнения, группы представляют результат работы.



  • Одна из групп по желанию выставляет свою версию на доске с помощью магнитов или скотча, и обосновывает её. Остальные группы работают на дополнение и уточнение.

  • Задача учителя на данном этапе – организовать согласование всех полученных версий. После этого он выставляет собственный вариант, и учащиеся сравнивают его со своими версиями.

  • Результатом работы групп, должен быть получен алгоритм и значение выражения, найденных с помощью нового способа действий.

  • Можно также провести фронтальную беседу.

− Может быть, вам эта задача кажется не такой уж и легкой, но эта задача уже однажды была решена, причем 9-ти летним мальчиком.

Историческая справка

Эта задача связана с детскими годами замечательного немецкого математика Карла Гаусса (1777–1855 гг.). Когда ему было 9 лет, учитель задал эту задачу всему классу, чтобы дети не мешали ему проверять письменные работы учеников другого класса. Через 1 минуту Карл произнес: «Я уже решил…» – и сдал работу. К концу урока сумму вычислили и остальные.

Давайте попробуем повторить этот опыт.

− Рассмотрим, как с этим справился маленький Карл: (слайд)



Учащимся предлагается еще одна возможность.

− Найдите в этой задаче 20-е треугольное число, т.е. что нужно сделать? (Найти сумму 20-первых членов арифметической прогрессии.)

− Проанализировав решение двух задач, выведите общую формулу. (…)

− Если значение последнего члена суммы не известно? (Можно воспользоваться формулой n-го члена арифметической прогрессии.)

− Совместите обе формулы и выведите еще одну формулу для нахождения суммы n первых членов арифметической прогрессии.

− Достигли вы цели? (Да.)

− Уточните вывод. (Если надо найти суммы n-первых членов арифметической прогрессии, то можно использовать одну из формул.)


  • Учитель вывешивает на доску эталон.

− Какой следующий шаг вы должны выполнить? (Научиться применять новые знания.)

6. Первичное закрепление во внешней речи

Интересный факт: ямб и хорей (слайд)

− Найдите сумму десяти первых четных чисел натурального ряда. Является ли данная последовательность арифметической прогрессией? (Да).

− Назовите первый член и разность этой арифметической прогрессии. (2; 2.)

− Известен ли последний член этой арифметической прогрессии? (Нет.)

− Какой формулой удобнее воспользоваться? (Второй формулой.)


  • Один из учеников выходит к доске и выполняет


− Выполните задания в парах



  1. Найдите сумму шестидесяти первых членов арифметической прогрессии (an),

если а1 = 3, а60 = 57.

  1. Вычислите сумму девяти первых членов арифметической прогрессии (bn),

если b1 = −17, d = 6.

  • Задание выполняется в парах, с проверкой результатов по образцу.

1)

2)
7. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

− Выполните самостоятельно: найдите сумму пятидесяти первых нечетных чисел натурального ряда.



  • Учащиеся сверяют работу по эталону для самопроверки.

  • Проводится анализ и коррекция ошибок. Желательно, что бы дети, допустившие ошибки объяснили причину, по которой они не правильно выполнили задание.

В каком месте была допущена ошибка?

Почему у вас возникли затруднения?



8. Включение в систему знаний и повторение

Задача 1. Рабочий выложил плитку следующим образом: в первом ряду - 3 плитки, во втором - 5 плиток и т.д., увеличивая каждый ряд на 2 плитки. Сколько плиток понадобиться для 7 рядов?
a1 = 3, d = 2,

Ответ: 63 плитки.

Задача 2. За 16 дней Карл украл у Клары 472 коралла. Каждый день он крал на три коралла больше, чем в предыдущий день. Сколько кораллов Карл украл в последний день?

a1=7, a16=7+15*3=52

Ответ: 52 коралла.



Задача 3. Том Сойер красил забор длиной 105 м, причем день за днем количество выкрашенного за день уменьшалось на одну и ту же величину. За сколько дней был выкрашен забор, если за первые три дня Том выкрасил 36 м забора, а за последние три дня – 27 м?

Решение

Обозначим через n искомое количество дней, а через http://unichance.ru/img/lib/735.gifколичество (в метрах) выкрашенного в k-ый день. Тогда http://unichance.ru/img/lib/730.gif– арифметическая прогрессия, в которой



http://unichance.ru/img/lib/753.gif, http://unichance.ru/img/lib/754.gif, http://unichance.ru/img/lib/755.gif

Далее имеем:

http://unichance.ru/img/lib/766.gif

http://unichance.ru/img/lib/767.gif, http://unichance.ru/img/lib/768.gif, http://unichance.ru/img/lib/769.gif

http://unichance.ru/img/lib/747.gif, http://unichance.ru/img/lib/770.gif

Ответ: 10 дней.

Задача 4. За изготовление и установку самого нижнего железобетонного кольца колодца заплатили 26 у.е., а за каждое следующее кольцо платили на 2 у.е. меньше, чем за предыдущее. Кроме того в конце работы заплатили еще 40 у.е.. Сколько колец в колодце, если потом выяснили, что средняя стоимость одного кольца оказалась у.е?

Решение:

а1 = 26, d = −2, аn = 28 − 2n, Sn = 27nn2, , 9n2 − 41n – 360 = 0, n = 9 (nN)

Ответ: 9 колец

9. Рефлексия деятельности на уроке

− Какое новое число вы открыли сегодня? (Треугольное число или сумму n-первых членов арифметической прогрессии)

− Какую цель вы ставили в начале урока?

− Вы достигли поставленной цели?

− Что вам помогло достичь цели?

− Какие формулы вывели?

− Эти формулы подходят для любой числовой последовательности?

− Какой формулой, когда пользоваться удобнее?



Домашнее задание:

− Начать заполнение таблицы. Продолжим её заполнение на последующих уроках. Выучить формулы суммы n первых членов арифметической прогрессии. Придумать задачи на применение каждой формулы суммы n-первых членов арифметической прогрессии.

Таблица: "Арифметическая и геометрическая прогрессии".




Арифметическая прогрессия

Геометрическая прогрессия

Примеры





Определение





Рекуррентная формула





Формула n-го члена





Характеристическое свойство





Общий вид формулы n-го члена





Формула суммы n первых членов.




− Возвращаясь к эпиграфу нашего урока, я хочу узнать, стал ли для вас этот час счастливым, прибавили ли вы что-то к своему образованию?



− У каждого из вас на столе карточки (розовая, зелёная, жёлтая). Уходя из класса, прикрепите на дверь одну из них. До свидания! Спасибо за урок!

Карточка розового цвета обозначает: “Я удовлетворён уроком, урок был полезен для меня, я много, с пользой и хорошо работал на уроке, я понимал всё, о чём говорилось и что делалось на уроке”.

Карточка желтого цвета обозначает: “Урок был интересен, я понимал практически всё, о чём говорилось и что делалось на уроке, но при решении задач не все получилось”.

Карточка зеленого цвета обозначает: “Пользы от урока я получил мало, я не очень понимал, о чём идёт речь, мне это не очень нужно, домашнее задание я не понял, к ответу на уроке я был не готов”.

Литература:

  1. Макарычев, Ю.Н., Миндюк, Н.Г. Алгебра 9 / Ю.Н. Макарычев, Н.Г. Миндюк. – М.: Просвещение, 2004.

  2. Баврин И.И., Фрибус Е.А.: Старинные задачи: Книга для учащихся / И.И. Баврин, Е.А. Фрибус. – М.: Просвещение, 1994.

  3. Сборник задач по алгебре для 7-9 кл./М.:Просвещение, 2007 - 2008. / М. В.Ткачёва, Р.Г.Газарян.

  4. Алгебра: Сборник заданий для подготовки к итоговой аттестации в 9 классе./Л.В.Кузнецова, С.Б.Суворова, Е.А.Бунимович и др.-М.: Просвещение, 2006-2008.

  5. Текстовые задачи ЕГЭ (В13) и ГИА

  6. http://ru.wikipedia.org

  7. http://raal100.narod.ru