Содержание: Интегральное исчисление - shikardos.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Название работы Кол-во страниц Размер
Отчет по исполнению по статьям целевого финансирования за 2012г 1 51.41kb.
Интегральное видение для слегка свихнувшегося мира 11 6084.94kb.
Бемидбар Счет и исчисление 1 «И говорил Творец Моше в пустыне Синай... 3 360.1kb.
1. Понятие и содержание конституционного строя 8 3187.72kb.
Рабочая программа учебной дисциплины «Актуальные проблемы международного... 2 409.95kb.
Санитарное содержание и уборка помещений гостиницы , оборот белья... 1 47.16kb.
П. Ф. Забродский, М. С. Громов, И. Х. Яфарова влияние хронической... 1 110.58kb.
Отчет юридического факультета за 2012/2013 учебный год Содержание... 10 2774.46kb.
Установление платы за содержание и ремонт жилого помещения структура... 1 37.16kb.
Рабочая программа по литературе представляет собой целостный документ... 1 343.48kb.
ПаРудяксы Содержание 4 503.4kb.
Учебное пособие для студентов и преподавателей. Акимов В. Н. 1 242.17kb.
- 4 1234.94kb.
Содержание: Интегральное исчисление - страница №1/1


1

Содержание:


Интегральное исчисление.

Первообразная функция.

Неопределенный интеграл.

Свойства неопределенного интеграла.

Таблица основных интегралов.

Непосредственное интегрирование.

Способ подстановки.

Интегрирование по частям.

Интегрирование элементарных дробей.

Рекуррентная формула.

Интегрирование рациональных функций.

Интегрирование рациональных дробей.

Метод неопределенных коэффициентов.

Метод произвольных значений.

Интегрирование тригонометрических функций.

Универсальная тригонометрическая подстановка.

Интегрирование иррациональных функций.

Биноминальные дифференциалы.

Тригонометрическая подстановка.

Подстановки Эйлера.

Метод неопределенных коэффициентов.

Интегралы, не выражающиеся через элементарные функции.

Эллиптические интегралы.

Интеграл Пуассона.

Интеграл Френеля.

Интегральный логарифм.

Интегральный синус и косинус.

Интегральное исчисление.

Первообразная функция.
Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно равенство:

F(x) = f(x).

Надо отметить, что первообразных для одной и той же функции может быть бесконечно много. Они будут отличаться друг от друга на некоторое постоянное число.

F1(x) = F2(x) + C.


Неопределенный интеграл.

Определение: Неопределенным интегралом функции f(x) называется совокупность первообразных функций, которые определены соотношением:

F(x) + C.

Записывают:
Условием существования неопределенного интеграла на некотором отрезке является непрерывность функции на этом отрезке.
Свойства:

1.

2.

3.

4. где u, v, w – некоторые функции от х.





Пример:
Нахождение значения неопределенного интеграла связано главным образом с нахождением первообразной функции.

Таблица интегралов




Интеграл

Значение

Интеграл

Значение

1



-lncosx+C

9



ex + C

2

gif" align=absmiddle width="67px" height="24px">

lnsinx+ C

10



sinx + C

3





11



-cosx + C

4





12



tgx + C

5





13



-ctgx + C

6



ln

14



arcsin + C

7





15





8





16






Методы интегрирования.
Рассмотрим три основных метода интегрирования.
Непосредственное интегрирование.
Метод непосредственного интегрирования основан на предположении о возможном значении первообразной функции с дальнейшей проверкой этого значения дифференцированием. Вообще, заметим, что дифференцирование является мощным инструментом проверки результатов интегрирования.

Рассмотрим применение этого метода на примере:

Требуется найти значение интеграла . На основе известной формулы дифференцирования можно сделать вывод, что искомый интеграл равен , где С – некоторое постоянное число. Однако, с другой стороны . Таким образом, окончательно можно сделать вывод:

Заметим, что в отличие от дифференцирования, где для нахождения производной использовались четкие приемы и методы, правила нахождения производной, наконец определение производной, для интегрирования такие методы недоступны. Если при нахождении производной мы пользовались, так сказать, конструктивными методами, которые, базируясь на определенных правилах, приводили к результату, то при нахождении первообразной приходится в основном опираться на знания таблиц производных и первообразных.

Что касается метода непосредственного интегрирования, то он применим только для некоторых весьма ограниченных классов функций. Функций, для которых можно с ходу найти первообразную очень мало. Поэтому в большинстве случаев применяются способы, описанные ниже.
Способ подстановки (замены переменных).
Теорема: Если требуется найти интеграл , но сложно отыскать первообразную, то с помощью замены x = (t) и dx = (t)dt получается:


Пример. Найти неопределенный интеграл .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.




Пример.

Замена Получаем:



Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для различных типов функций.


Интегрирование по частям.
Способ основан на известной формуле производной произведения:

(uv) = uv + vu

где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d(uv) = udv + vdu


Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

или ;

Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.


Наиболее часто встречающиеся случаи:





Пример.

Как видно, последовательное применение формулы интегрирования по частям позволяет постепенно упростить функцию и привести интеграл к табличному.


Пример.

Видно, что в результате повторного применения интегрирования по частям функцию не удалось упростить к табличному виду. Однако, последний полученный интеграл ничем не отличается от исходного. Поэтому перенесем его в левую часть равенства.


Таким образом, интеграл найден вообще без применения таблиц интегралов.


Пример.



Пример.

Пример.




Пример.

Пример.

Пример.

Пример.



Пример.



Пример.


Пример.


Интегрирование элементарных дробей.
Определение: Элементарными называются дроби следующих четырех типов:
I. III.
II. IV.

m, n – натуральные числа (m  2, n  2) и b2 – 4ac <0.


Первые два типа интегралов от элементарных дробей довольно просто приводятся к табличным подстановкой t = ax + b.



II.


Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III.

Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:



Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида III к двум табличным интегралам.


Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.

Пример.

Вообще говоря, если у трехчлена ax2 + bx + c выражение b2 – 4ac >0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.
Пример.


Пример.


Рассмотрим теперь методы интегрирования простейших дробей IV типа.

Сначала рассмотрим частный случай при М = 0, N = 1.

Тогда интеграл вида можно путем выделения в знаменателе полного квадрата представить в виде . Сделаем следующее преобразование:

.

Второй интеграл, входящий в это равенство, будем брать по частям.

Обозначим:

Для исходного интеграла получаем:





Полученная формула называется рекуррентной. Если применить ее n-1 раз, то получится табличный интеграл .
Вернемся теперь к интегралу от элементарной дроби вида IV в общем случае.


В полученном равенстве первый интеграл с помощью подстановки t = u2 + s приводится к табличному , а ко второму интегралу применяется рассмотренная выше рекуррентная формула.

Несмотря на кажущуюся сложность интегрирования элементарной дроби вида IV, на практике его достаточно легко применять для дробей с небольшой степенью n, а универсальность и общность подхода делает возможным очень простую реализацию этого метода на ЭВМ.


Пример:

Интегрирование рациональных функций.


Интегрирование рациональных дробей.
Для того, чтобы проинтегрировать рациональную дробь необходимо разложить ее на элементарные дроби.
Теорема: Если - правильная рациональная дробь, знаменатель P(x) которой представлен в виде произведения линейных и квадратичных множителей (отметим, что любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в таком виде: P(x) = (x - a)…(x - b)(x2 + px + q)…(x2 + rx + s) ), то эта дробь может быть разложена на элементарные по следующей схеме:

где Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si – некоторые постоянные величины.

При интегрировании рациональных дробей прибегают к разложению исходной дроби на элементарные. Для нахождения величин Ai, Bi, Mi, Ni, Ri, Si применяют так называемый метод неопределенных коэффициентов, суть которого состоит в том, что для того, чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы были равны коэффициенты при одинаковых степенях х.

Применение этого метода рассмотрим на конкретном примере.


Пример.

Т.к. (, то



Приводя к общему знаменателю и приравнивая соответствующие числители, получаем:








Итого:



Пример.

Т.к. дробь неправильная, то предварительно следует выделить у нее целую часть:

6x5 – 8x4 – 25x3 + 20x2 – 76x – 7 3x3 – 4x2 – 17x + 6

6x5 – 8x4 – 34x3 + 12x2 2x2 + 3

9x3 + 8x2 – 76x - 7

9x3 – 12x2 – 51x +18

20x2 – 25x – 25



Разложим знаменатель полученной дроби на множители. Видно, что при х = 3 знаменатель дроби превращается в ноль. Тогда:



3x3 – 4x2 – 17x + 6 x - 3

3x3 – 9x2 3x2 + 5x - 2

5x2 – 17x

5x2 – 15x

- 2x + 6

-2x + 6


0

Таким образом 3x3 – 4x2 – 17x + 6 = (x – 3)(3x2 + 5x – 2) = (x – 3)(x + 2 )(3x – 1). Тогда:





Для того, чтобы избежать при нахождении неопределенных коэффициентов раскрытия скобок, группировки и решения системы уравнений (которая в некоторых случаях может оказаться достаточно большой) применяют так называемый метод произвольных значений. Суть метода состоит в том, что в полученное выше выражение подставляются поочередно несколько (по числу неопределенных коэффициентов) произвольных значений х. Для упрощения вычислений принято в качестве произвольных значений принимать точки, при которых знаменатель дроби равен нулю, т.е. в нашем случае – 3, -2, 1/3. Получаем:

Окончательно получаем:


=



Пример.

Найдем неопределенные коэффициенты:







Тогда значение заданного интеграла:




Интегрирование некоторых тригонометрических

функций.
Интегралов от тригонометрических функций может быть бесконечно много. Большинство из этих интегралов вообще нельзя вычислить аналитически, поэтому рассмотрим некоторые главнейшие типы функций, которые могут быть проинтегрированы всегда.

Интеграл вида .
Здесь R – обозначение некоторой рациональной функции от переменных sinx и cosx.

Интегралы этого вида вычисляются с помощью подстановки . Эта подстановка позволяет преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную.



,

Тогда

Таким образом:
Описанное выше преобразование называется универсальной тригонометрической подстановкой.
Пример.

Несомненным достоинством этой подстановки является то, что с ее помощью всегда можно преобразовать тригонометрическую функцию в рациональную и вычислить соответствующий интеграл. К недостаткам можно отнести то, что при преобразовании может получиться достаточно сложная рациональная функция, интегрирование которой займет много времени и сил.

Однако при невозможности применить более рациональную замену переменной этот метод является единственно результативным.
Пример.


Интеграл вида если

функция R является нечетной относительно cosx.
Несмотря на возможность вычисления такого интеграла с помощью универсальной тригонометрической подстановки, рациональнее применить подстановку t = sinx.

Функция может содержать cosx только в четных степенях, а следовательно, может быть преобразована в рациональную функцию относительно sinx.




Пример.

Вообще говоря, для применения этого метода необходима только нечетность функции относительно косинуса, а степень синуса, входящего в функцию может быть любой, как целой, так и дробной.


Интеграл вида если

функция R является нечетной относительно sinx.
По аналогии с рассмотренным выше случаем делается подстановка t = cosx.

Тогда


Пример.


Интеграл вида

функция R четная относительно sinx и cosx.
Для преобразования функции R в рациональную используется подстановка

t = tgx.

Тогда


Пример.


Интеграл произведения синусов и косинусов

различных аргументов.
В зависимости от типа произведения применятся одна из трех формул:






Пример.

Пример.

Иногда при интегрировании тригонометрических функций удобно использовать общеизвестные тригонометрические формулы для понижения порядка функций.
Пример.


Пример.

Иногда применяются некоторые нестандартные приемы.


Пример.

Итого





Интегрирование некоторых иррациональных функций.
Далеко не каждая иррациональная функция может иметь интеграл, выраженный элементарными функциями. Для нахождения интеграла от иррациональной функции следует применить подстановку, которая позволит преобразовать функцию в рациональную, интеграл от которой может быть найден как известно всегда.

Рассмотрим некоторые приемы для интегрирования различных типов иррациональных функций.




Интеграл вида где n- натуральное число.
С помощью подстановки функция рационализируется.

Тогда


Пример.

Если в состав иррациональной функции входят корни различных степеней, то в качестве новой переменной рационально взять корень степени, равной наименьшему общему кратному степеней корней, входящих в выражение.

Проиллюстрируем это на примере.
Пример.


Интегрирование биноминальных дифференциалов.
Определение: Биноминальным дифференциалом называется выражение

xm(a + bxn)pdx

где m, n, и p – рациональные числа.


Как было доказано академиком Чебышевым П.Л. (1821-1894), интеграл от биноминального дифференциала может быть выражен через элементарные функции только в следующих трех случаях:


  1. Если р – целое число, то интеграл рационализируется с помощью подстановки

, где  - общий знаменатель m и n.


  1. Если - целое число, то интеграл рационализируется подстановкой

, где s – знаменатель числа р.
3) Если - целое число, то используется подстановка , где s – знаменатель числа р.
Однако, наибольшее практическое значение имеют интегралы от функций, рациональных относительно аргумента и квадратного корня из квадратного трехчлена.

На рассмотрении этих интегралов остановимся более подробно.


Интегралы вида .
Существует несколько способов интегрирования такого рода функций. В зависимости от вида выражения, стоящего под знаком радикала, предпочтительно применять тот или иной способ.

Как известно, квадратный трехчлен путем выделения полного квадрата может быть приведен к виду:



Таким образом, интеграл приводится к одному из трех типов:










1 способ. Тригонометрическая подстановка.
Теорема: Интеграл вида подстановкой или

сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.
Пример:

Теорема: Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint и cost.
Пример:

Теорема: Интеграл вида подстановкой или сводится к интегралу от рациональной функции относительно sint или cost.


Пример:


2 способ. Подстановки Эйлера. (1707-1783)


  1. Если а>0, то интеграл вида рационализируется подстановкой

.


  1. Если a<0 и c>0, то интеграл вида рационализируется подстановкой .




  1. Если a<0 , а подкоренное выражение раскладывается на действительные множители a(x – x1)(x – x2), то интеграл вида рационализируется подстановкой .

Отметим, что подстановки Эйлера неудобны для практического использования,

т.к. даже при несложных подинтегральных функциях приводят к весьма громоздким вычислениям. Эти подстановки представляют скорее теоретический интерес.
3 способ. Метод неопределенных коэффициентов.
Рассмотрим интегралы следующих трех типов:

где P(x) – многочлен, n – натуральное число.


Причем интегралы II и III типов могут быть легко приведены к виду интеграла I типа.
Далее делается следующее преобразование:

в этом выражении Q(x)- некоторый многочлен, степень которого ниже степени многочлена P(x), а  - некоторая постоянная величина.

Для нахождения неопределенных коэффициентов многочлена Q(x), степень которого ниже степени многочлена P(x), дифференцируют обе части полученного выражения, затем умножают на и, сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, определяют  и коэффициенты многочлена Q(x).

Данный метод выгодно применять, если степень многочлена Р(х) больше единицы. В противном случае можно успешно использовать методы интегрирования рациональных дробей, рассмотренные выше, т.к. линейная функция является производной подкоренного выражения.


Пример.
.

Теперь продифференцируем полученное выражение, умножим на и сгруппируем коэффициенты при одинаковых степенях х.





=

=




Итого =

=


Пример.













Пример.












Второй способ решения того же самого примера.

С учетом того, что функции arcsin и arccos связаны соотношением , а постоянная интегрирования С – произвольное число, ответы, полученные различными методами, совпадают.

Как видно, при интегрировании иррациональных функций возможно применять различные рассмотренные выше приемы. Выбор метода интегрирования обуславливается в основном наибольшим удобством, очевидностью применения того или иного метода, а также сложностью вычислений и преобразований.


Пример.

Несколько примеров интегралов, не выражающихся через

элементарные функции.
К таким интегралам относится интеграл вида , где Р(х)- многочлен степени выше второй. Эти интегралы называются эллиптическими.

Если степень многочлена Р(х) выше четвертой, то интеграл называется ультраэллиптическим.

Если все – таки интеграл такого вида выражается через элементарные функции, то он называется псевдоэллиптическим.

Не могут быть выражены через элементарные функции следующие интегралы:




  1. - интеграл Пуассона ( Симеон Дени Пуассон – французский математик (1781-1840))

  2. - интегралы Френеля (Жан Огюстен Френель – французский ученый (1788-1827) - теория волновой оптики и др.)

  3. - интегральный логарифм

  4. - приводится к интегральному логарифму

  5. - интегральный синус

  6. - интегральный косинус