Научно-практическая конференция учащихся и педагогов,,Первые шаги в науку - shikardos.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Научно-практическая конференция учащихся и педагогов,,Первые шаги в науку - страница №1/1


Брянская городская администрация

Управление образования

Городской информационно-методический центр

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа № 53» г. Брянска



Научно-практическая конференция учащихся и педагогов

,,Первые шаги в науку"

Проект по математике:



,,Точка Ферма - Торричелли".

Выполнили: ученики 10 ,,А" класса

Зимин Станислав 7.08.1996г.

Костыльков Констатин 18.01.1996г.

Романенко Денис 27.08.1996г.

Руководитель: Драп Людмила Стальевна.


г. Брянск - 2012г.
Введение

Однажды от учителя мы услышали о «замечательных точках треугольника».


Из всех точек, нам больше всего понравилась точка Ферма-Торричелли, и мы решили узнать о ней больше. Мы были удивлены, когда узнали, что эта точка в треугольнике связана с именами сразу трех выдающихся ученых прошлого.

Изучая свойства треугольников и работая с построениями, мы наткнулись на интересный факт: беря точки, среди множества точек внутри треугольника, мы увидели, что сумма расстояний от этих точек до вершин треугольника уменьшалась. Тогда мы выдвинули гипотезу, что может быть, среди этих точек есть точка, сумма расстояний от которой до вершин треугольника является минимальной. Оказывается, этим вопросом интересовались учёные уже в 18 веке. Эта точка в треугольнике связана с именами сразу трёх выдающихся учёных прошлого.

Впервые о ней говорилось в работах французского математика Пьера Ферма, который решал задачу о местоположении в треугольнике АВС такой точки F, что сумма FA + FB + FC её расстояний до вершин была бы минимальной.

Швейцарский геометр Якоб Штейнер рассматривал ту же проблему в несколько более общем виде: он пытался найти кратчайшую сеть дорог, соединяющих три пункта.

Точку треугольника, положение которой удовлетворяет этим условиям, построил итальянский учёный Эванджелиста Торричелли.

Данная работа посвящена изучению точки Ферма-Торричелли и применению её свойств на практике.


Цель:

Найти практическое применение свойств точки Ферма-Торричелли в строительстве дорог с наименьшей затратой ресурсов. Сделать экспериментальное построение точки Ферма.


Задачи:

1.Определение точки Ферма-Торричелли.

2.Определить алгоритм построения точки Ферма.

3. Познакомиться со свойствами точки Ферма-Торричелли.

4. Применить свойства точки Ферма-Торричелли на практике.

5.Сделать экспериментальную модель построения точки Ферма.

6. Создать схематичный план постройки дорог между тремя населёнными пунктами с наименьшей затратой на строительство.

Определение точки Ферма-Торричелли и её построение.
Если все углы треугольника меньше 120 градусов, то точкой Ферма - Торричелли называется такая точка треугольника, сумма расстояний от которой до вершин треугольника является минимальной.
Алгоритм построения точки Ферма-Торричелли.
1. Построить на сторонах треугольника вне него равносторонние треугольники; (см.рис. 1)

2. Соединить отрезком каждую вершину треугольника с вершиной равностороннего треугольника, построенного на противоположной стороне; (см. рис. 2)

3. Построить точку пересечения этих отрезков. (см. рис. 3)

Свойства точки Ферма-Торричелли.

1. Каждая сторона треугольника из точки Ферма-Торричелли видна под углом 120 градусов; (см. рис. 4)

2. Если один из углов треугольника равен 120 градусов, то точка Ферма-Торричелли совпадет с вершиной треугольника. (см. рис. 5)

3. Окружности описанные около правильных треугольников пересекаются в точке Ферма-Торричелли. (см. рис. 6)

4. Если внутри треугольника построить треугольник, стороны которого являются средними линиями исходного треугольника, потом аналогично построить третий, четвертый треугольник и т.д.; в каждом треугольнике построить свою точку Ферма - Торричелли, то все точки Ферма-Торричелли будут лежать на одной прямой. Это свойство будем называть коллинеарностью точек Ферма-Торричелли.

1) Построим произвольный треугольник и точку Ферма - Торричелли данного треугольника. (см. рис. 7)

2) В заданном треугольнике построим треугольник, стороны которого являются средними линиями исходного (красный треугольник).(см. рис. 8)

3) Построим точку Ферма -Торричелли в красном треугольнике.

(см. рис. 9)

4) Построим треугольник, стороны которого являются средними линиями красного (зеленый треугольник) и найдем для него точку Ферма-Торричелли. (см. рис. 10)

5) Все точки Ферма-Торричелли лежат на одной прямой, т.е. коллинеарны.

(см. рис. 11)



Настольная модель точки Ферма-Торричелли.

Физическая модель точки Ферма-Торричелли может быть получена в домашних условиях. Для этого отметим на плоской гладкой горизонтальной поверхности точки A, B и C и просверлим в отмеченных местах сквозные отверстия; свяжем три нити и пропустим сверху их свободные концы через отверстия; привяжем к свободным концам грузики одинаковой массы; когда система придет в равновесие, узел окажется в точке Ферма для треугольника ABC. (см. рис. 12)



Точка Ферма-Торричелли в мыльных пузырях.

Очень интересно наблюдать за точкой Ферма в мыльных пузырях.

Мыльные пленки обладают свойством стремятся сократиться до наименьших возможных размеров. Этим и объясняется шарообразная форма мыльных пузырей.

Мы изготовили из медной тонкой и хорошо гнущейся проволоки модели правильного тетраэдра, куба (можно и другие многогранники). Мы окунули эти модели в мыльный раствор и, осторожно вытаскивая их, наблюдали за передвижением мыльных пленок. Пленки стремились занять наименьшую площадь. Так как их поверхностное натяжение одинаково, то силы их поверхностного натяжения могут «уравновесить» друг друга лишь в том случае, когда углы, под которыми они пересекаются, равны между собой и, следовательно, каждый равен 1200. После установления равновесия в правильном тетраэдре очень четко была видна точка пересечения сил натяжения, от которой каждое ребро тетраэдра было видно под углом 1200. В кубе наблюдалась аналогичная картина. Это прекрасное зрелище! Попробуйте! (см. рис. 13, рис. 14, рис. 15, рис. 16)



Применение свойств точки Ферма-Торричелли на практике.

Во время изучения точки Ферма-Торричелли у нас не раз возникал вопрос: ,,Возможно ли использовать свойства точки Ферма-Торричелли при строительстве дорог для экономии ресурсов?". Для ответа на наш вопросы, мы решили обратиться к трудам Якоба Штейнера и создать схематичный план постройки дорог между предполагаемым населённым пунктом и Москвой, Брянском и Смоленском.


Предположим, что было решено возвести населённый пункт в близи этих городов, но с таким местоположением, чтобы можно было сэкономить на дорожных работах. Для нахождения такого местоположения мы нашли на карте города и соединили их прямыми, в результате чего получился своеобразный треугольник.

Далее, мы воспользовались знаниями, которые получили при изучении точки Ферма-Торричелли.

Таким образом, мы нашли местоположение отмеченное точкой X. Сумма длин прямых от вершин треугольника до точки X будет минимальна (рис.17). Следовательно, если в данной точке расположить населённый пункт, то на строительство дорого от него до городов Москва, Брянск, Смоленск будет затрачено наименьшее количество ресурсов, чем в каком-либо другом случае.
Точка Ферма - Торричелли в г. Брянске.

Мы решили не останавливаться на уже достигнутом и рассмотреть вариант применения точки Ферма-Торричелли в г. Брянск. По нашему мнению, другим примером применения свойств точки Ферма-Торричелли может служить строительство Центра скорой медицинской помощи в г. Брянске.

Нами рассматриваются Бежицкий, Фокинский и Володарский районы. Мы не рассматриваем Советский, так как его население наименьшее из районов и обеспеченность структурами здравоохранения наибольшая.

Довольно часто мы сталкиваемся со случаем, когда отряд скорой

помощи не успевает к месту вызова и зачастую происходят фатальные случаи. Мы решили рассмотреть такой вариант расположения Центра скорой медицинской помощи, чтобы при вызове отряд мог в кратчайший промежуток времени добираться до места. В результате наших построений было выяснено, что Центр лучше всего расположить на территории Володарского района. (см. рис.18 )
Таким образом, свойства точки Ферма - Торричелли могут быть использованы даже в такой сфера, как здравоохранение. Хотя это и не рассматривается городскими властями, мы уверены, что используя этот проект возможно было бы улучшить жизненный уровень населения.
Заключение.

Точка Ферма-Торричелли - одна из тех знаменитых, удивительных точек треугольника. Изучая её в процессе создания проекта, мы открыли для себя много удивительного. Точка Ферма-Торричелли была рассмотрена нами как на бумаге, так и в мыльных пузырях, в физической модели, и на практике. Наша главная цель, была найти применение точки в строительстве дорог. И цель была достигнута. Мы уверены, что продолжая знакомиться с точкой, мы откроем ещё не мало удивительных вещей.


Список используемой литературы
1. А. О. Иванов, А. А. Тужилин  ,,Задача Штейнера на плоскости или плоские минимальные сети" (1991г.)

2. А. Г. Мякишев ,,Элементы геометрии треугольника" (2002г.)

3. Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.)

4. ru.wikipedia.org/wiki/Точка_Ферма

5. ru.wikipedia.org/wiki/Штейнер,_Якоб

Приложение








Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 5

Рис. 6

Рис. 7



Рис. 8

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11

Рис. 12





Рис. 16

Рис. 15

Рис. 14

Рис. 13

Рис. 17





Рис. 18