001

В рентгеновской трубке энергия бомбардирующих антикатод электронов вся или частично переходит в энергию излучения рентгеновских квантов. Определить длину волны де Бройля электронов, если минимальная, длина волны рентгеновских квантов λ= 3 нм.

Решение: Дано: λ= 3 нм

Кинетическая энергия электронов переходит в энергию рентгеновских фотонов



Полная энергия электронов есть сумма кинетической энергии и энергии покоя

Найдем импульс электрона



Тогда длина волны де Бройля электронов есть



- Ответ.

________________________________________________________________

002

Прямолинейная траектория частицы в камере Вильсона представляет собой цепочку малых капелек тумана, поперечный размер которых d=1 мкм. Можно ли, наблюдая след электрона с кинетической энергией T = 1 кэВ, обнаружить отклонение в его движении от классических законов? Указание: оценить угловой разброс импульса Δр_у/р_х.

Решение: Дано: d=1 мкм T = 1 кэВ

Используем неопределённость Гейзенберга gif" align=absmiddle hspace=8>

Считаем, что . Тогда или

Очевидно, что . Отсюда

Найдем отношение

Это слишком маленькая величина чтобы судить об отклонения от прямой траектории, т.е. законы классической физики, можно считать, не нарушается.

_________________________________________________________________

003

Частица находится в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме шириной l в возбужденном состоянии на втором энергетическом уровне (n= 2). Определить, в каких точках интервала (0<х<l) плотность вероятности нахождения частицы имеет минимальное значение.

Решение: Дано: Волновая функция для одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме шириной l в возбужденном состоянии на втором энергетическом уровне (n= 2)имеет вид

Вероятность нахождения частицы в интервале выражается интегралом





Берем производную от функции по z

При и вероятность нахождения частицы минимальна.

______________________________________________________________________

004

Кинетическая энергия электрона в два раза превышает высоту потенциального барьера в виде ступеньки (рис. 1.1). Определить коэффициент отражения электронов от барьера.

Решение: Дано: E=2U₀ R-?

Коэффициент отражения выражается формулой

Подставляя значение Е, найдем




– Ответ.

____________________________________________________________________

005

Найти наибольшую и наименьшую длину волны в инфракрасной серии линии спектра излучения атома водорода (серия Пашена).

Решение: Дано: k=3 λ_max-? λ_min-?

Формула Ридберга для серии Пашена выглядит следующим образом:

– постоянная Ридберга.
Или . Очевидно, что



- Ответ.

_______________________________________________________________________

006

При изменении температуры чистого полупроводника от значения Т₁=300 К до T₂= 400 К его удельная электропроводимость σ выросла в 5,2 раза. Найдите ширину запрещенной зоны полупроводника.

Решение: Дано: Т₁=300 К T₂= 400 К

Для каждой температуры напишем проводимость

Найдем отношение

отсюда

– Ответ.

_______________________________________________________________________


007

Счётчик α - частиц, установленный вблизи радиоактивного изотопа, при первом измерении за одну минуту зарегистрировал 1406 частицы, а через 4 часа только 400 частиц за минуту. Определить период полураспада этого изотопа.

Решение: Дано: N₁=1406*60 N₂=400*60 =4*3600 c T-?

Закон радиоактивного распада выражается формулой:

Для моментов времени и запишем формулу: и

Найдем отношение: отсюда или

Период полураспада связан с постоянной распада формулой:

- Ответ.

_________________________________________________________________

008

В табл. 2 приведены ядерные реакции, соответствующие варианту задания. Определить недостающее в записи ядро или частицу и энергию реакции. Проставьте зарядовые числа у реагирующих ядер и продуктов реакции. ¹⁴N+³Н —»?+¹Н + n

Решение: Дано: ¹⁴N+³Н —»?+¹Н + n

Пусть будет

На левой стороны реакции 14+3=17 нуклонов, значить,.

Также на левой стороне 7+2=9 нейтронов, значить,.

Тогда число протонов 15-8=7, значить, это изотоп кислорода

¹⁴N+³Н —»¹⁵O+¹Н + n –Ответ.

_____________________________________________________________

009

Какая доля энергии фотона расходуется на работу вырывания электрона из металла, если красная граница фотоэффекта для этого металла 307 нм, а максимальная кинетическая энергия фотоэлектрона равна 1 эВ?

Дано: λ₀=307 нм E_max=1 эВ Решение: По закону фотоэффекта

– Ответ

_______________________________________________________________________________

010

Какую длину волны де Бройля имеет электрон, выбитый в результате фотоэффекта с поверхности натрия фотоном, имевшим энергию Еф= 3 кэВ?

Дано: Решение: По закону фотоэффекта

Отсюда находим импульс электрона кг м/с.

Длина волны де Бройля определяется по формуле

Подставляя значения, находим м – Ответ.

__________________________________________________________________________

011

Используя соотношение неопределенностей, оценить ширину одномерной потенциальной ямы, в которой минимальная энергия электрона равна 10 эВ.

Дано: Решение:

Из уравнения Гейзенберга можно оценить неточность в определении импульса электрона .

Кинетическая энергия частицы связана с импульсом соотношением .

Отсюда можно получить . Тогда .

Подставляя числовые значения, получим

- Ответ.

__________________________________________________________________________________

012

Электрон находится в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме шириной l=0.5 нм. Найти разность энергий ∆E_n+1,n между соседними энергетическими уровнями, если п = 1.Ответ выразить в электрон-вольтах.

Дано: Решение:

Полная энергия частицы, находящейся в потенциальной яме, зависит от квантового числа

Тогда при или Дж;

эВ – Ответ.

______________________________________________________________________________

013

Позитрон , имеющий кинетическую энергию Т=6 эВ, встречает на своем пути прямоугольный потенциальный барьер (рис. 1.2) высотой U₀= 12 эВ и шириной l=1 нм. Какова должна быть энергия протона, чтобы вероятность его прохождения этого же барьера была такой же, как у позитрона?

Дано: Решение:

Коэффициент прозрачности барьера конечной ширины (вероятность прохождения частицы через барьер) в случае прямоугольного барьера конечной ширины l вычисляется по формуле:

Найдем вероятность прохождения позитрона через барьер

или

Найдем вероятность прохождения протона через барьер

Но, по условию задачи Тогда
Отсюда Дж или эВ – Ответ.

_________________________________________________________________________________

014

Эту задачу можно было решать совсем по-другому, гораздо проще:

Приравняем и упрощаем

Подставляя значения, найдем энергию протона. Результат будет тот же, но здесь не нужен будет ширина барьера.

______________________________________________________________________________

015

Вычислить наибольшую и наименьшую энергию фотонов в ультрафиолетовой серии линий спектра излучения атома водорода (серия Лаймана).

Дано: Решение:

Энергия при переходе электрона между уровнями определяется по формуле , где

- постоянная Ридберга, - постоянная Планка, - скорость света в пустоте. По условию задачи (серия Лаймана).

Тогда найдем или м.

или м.

________________________________________________________________________________

016

Вычислить среднюю кинетическую энергию электронов в металле при температуре Т= 0 К, если уровень Ферми E_F=7эВ.

Дано: Решение:

Распределение Ферми по энергиям для свободных электронов при :
В этом случае для средней энергии имеем:

- концентрация электронов.
Тогда

Вычисляем - Ответ.

__________________________________________________________________________

017

Имеется пучок нейтронов с кинетической энергией 0,025 эВ. Какая доля нейтронов распадается на длине пучка 2м?

Дано: Решение:

Найдем среднее время прохождения пучка нейтронов расстояние 2 м.

Так как кинетическая энергия достаточно мала по сравнению массой нейтрона ( в энергетических единицах), т.е. скорость намного меньше чем скорости света в пустоте, то используем классическую формулу кинетической энергии:

, отсюда м/с.

Тогда время прохождения пучка нейтронов расстояние 2 м

или с.

Тогда доля нейтронов распадающиеся во время пути есть

или - Ответ.

___________________________________________________________________________

018

В табл. 2 приведены ядерные реакции, соответствующие варианту задания. Определить недостающее в записи ядро или частицу и энергию реакции. Проставьте зарядовые числа у реагирующих ядер и продуктов реакции.

Дано: ¹⁴N+⁶Li →^l5O + ?+n

Решение:

Проверим сначала сохранение число нуклонов (барионный заряд):

¹⁴N (14)+⁶Li (6)→^l5O (15)+ ?(х)+n(1)

Или 14+6=15+х+1, отсюда х=20-16=4

Теперь проверим электрический заряд (электронный лептонный заряд):

___________________________________________________________________________________

019

Кинетическая энергия электрона равна 0,6 МэВ. Определите длину волны де Бройля.

Решение:

Дано:

Из формул
Длину волны де Бройля найдем по формуле:





____________________________________________________________________________
020

Электрон движется в атоме водорода по первой боровской орбите. Принимая, что допускаемая неопределенность скорости составляет 10% от ее числового значения, определите неопределенность координаты электрона. Применимо ли в данном случае для электрона понятие траектории? Радиус первой боровской орбиты r₁ = 52,8 пм.

Решение: Дано:
Главное квантовое число . Согласно теории Бора: или

По условию задачи неопределенность скорости составляет 10% от ее числового значения, т.е.

По неопределенности Гейзенберга: Отсюда

Проверим неопределенность Гейзенберга при этих отклонениях

Не применимо в данном случае для электрона понятие траектории.

___________________________________________________________________________________

021

Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной l с бесконечно высокими «стенками» находится в возбужденном состоянии (n = 3). Определите, в каких точках «ямы» (0  x  l) плотность вероятности обнаружения частицы: 1) максимальна; 2) минимальна.

Решение: Дано:

Итак, пусть частица массы m находится в одномерной потенциальной яме бесконечной глубины. Потенциальная энергия U удовлетворяет следующим граничным условиям

При таких граничных условиях частица находится внутри потенциальной ямы и не может выйти за ее пределы, т.е.

Используя стационарное уравнение Шредингера для случая U = 0, получим
Энергия частицы принимает определенные дискретные значения

Эту формулу, подставляя в уравнение Шредингера, получим:

Общим решением является: При – решение при

Таким образом при

Теперь найдем минимальное значение волновой функции при

Таким образом при

______________________________________________________________________________

022

Электрон в атоме находится в d – состоянии. Определите: 1) момент импульса (орбитальный) L_i электрона; 2) максимальное значение проекции момента импульса (L_i,z) _max на направление внешнего магнитного поля.

Решение: Дано:

Наблюдаемые значения орбитального и магнитного момента совпадают с собств. значениями соответствующих операторов и определяются из уравнений:

и - операторы. и - собственные значения операторов.

Однозначные и всюду ограниченные (на единичной сфере)решения этих уравнений существуют только при .

где (орбитальное, или азимутальное квантовое число) принимает значения = 0, 1, 2, 3,..., а (магнитное квантовое число) определяет величину проекции орбитального момента на ось и принимает 2 + 1 значений; m = l, l -1, ...,- l, что даёт кратность вырождения уровней энергии с данным l, равную 2l+ 1. В квантовой механике возникает квантование орбитального и магнитного момента.

Так как у нас состояние , значить, .

Тогда

(магнитное квантовое число) может принимать в этом случае -3;-2;-1;0;1;2;3 значения.

По условию задачи надо найти магнитный момент электрона на направление внешнего магнитного поля. Так как заряд электрона отрицательный, «собственный магнитный момент» будет направлен против внешнего магнитного поля.

Тогда

________________________________________________________________________________

023

Какой изотоп образуется из U после двух  – распадов и одного  – распада?

Решение: Дано:

При распаде нейтрон превращается в протон, и вылетают электрон и электронное антинейтрино. А порядковый номер элемента смещается вправо на одну клетку в таблице элементов.

При распаде из ядра вылетает ядро гелия. А порядковый номер элемента смещается влево на две клетку в таблице элементов.

В результате образуется изотоп урана:

_________________________________________________________________________________

024

Начальная активность 1 г изотопа радия Ra равна 1 Ки. Определите период полураспада Т_1/2 этого изотопа.

Решение: Дано:

Закон радиоактивного распада определяется формулой: (1)

- количество распадающийся ядер в момент .

Решая дифференциальное уравнение (1) получим:

С другой стороны интенсивность распада тоже подчиняется этому же закону, так как:



– масса ядра

При

Отсюда

Период полураспада найдем по формуле: (2)

Подставляя значения, найдем: 226,0254098 1,660 540 2(10)×10−27

________________________________________________________________________________

025

Какую наименьшую энергию нужно затратить, чтобы разделить на отдельные нуклоны изобарные ядра Li и Be? Почему для ядра бериллия эта энергия меньше, чем для ядра лития?

Решение: Дано:

Энергия связи ядер бериллия меньше, чем энергия связи ядер лития.

___________________________________________________________________________________
026

Вычислить длину волны де Бройля для электрона, двигающегося со скоростью 0,1 с; 0,3 с; 0,5 с; 0,7 с; 0,9 с; 0,99 с, где с – скорость света в вакууме. Построить зависимость длины волны от скорости электрона, объяснить график.

Дано: v=0,1 с; 0,3 с; 0,5 с; 0,7 с; 0,9 с; 0,99 с λ-?

Решение: Длина волны де Бройля находят по формуле

Подставляя значения скорости, найдем длины волны и построим график

c	λ
0,1	24,12546
0,3	7,710055
0,5	4,199704
0,7	2,473689
0,9	1,174336
0,99	0,345501

_______________________________________________________________________________
027

Фотоны с энергией Е = 4,9 эВ вырывают электроны из металла с работой выхода А = 4,5 эВ. Найдите максимальный импульс р_max, передаваемый поверхности металла при вылете каждого электрона.

Решение: Дано:

По формуле фотоэффекта:

______________________________________________________________________________

028

Фотон с энергией E_ф=2m₀c² при рассеянии на покоящемся электроне теряет половину своей энергии, где m₀ - масса покоя электрона. Найти угол разлета α между рассеянным фотоном и электрон

Решение: Дано: E_ф=2m₀c² m₀ α-?

При рассеивании фотона в свободном электроне частота фотона меняется по формуле

или

- угол рассеяния (угол между направлениями распространения фотона до и после рассеяния).

По условию задачи , .

Тогда или или

Тогда .

Найдём вертикальную составляющую импульса рассеянного фотона:



По закону сохранения эта вертикальная составляющая равняется вертикальной составляющей импульса электрона



Или



Тогда – Ответ.

__________________________________________________________________________________

029

Кинетическая энергия электрона равна 0,6 МэВ. Определите длину волны де Бройля.

Решение: Дано:

Из формул

Найдем

Длину волны де Бройля найдем по формуле:

_________________________________________________________________________

030

Максимум спектра излучения абсолютно черного тела приходится на длину волны λ_max= 10 мкм. Какова температура тела?

Решение: Дано: λ_max= 10 мкм T-?

По формуле Вина:

где . Тогда – Ответ.

______________________________________________________________________________

031

Определите число свободных электронов, которое приходится на один атом натрия при Т=0 к. Энергия Ферми для натрия равна Е=3.12 эВ, плотность натрия =970 в кубе.

Дано:

Решение: Энергия Ферми равна:

- масса натрия, – концентрация свободных электронов.

В натрии массы содержится свободных электронов:

В одном моле:

На один атом приходится

– число Авогадро.

Ответ:

__________________________________________________________________________________

032

Найти максимальную частоту собственных колебаний атомов в кристалле железо, если при температуре , его удельная теплоемкость .

Дано:

Решение: Формула Дебая для молярной теплоемкости кристаллов:,

где - температура Дебая, - максимальная частота собственных колебаний. При Т << молярная теплоемкость диэлектрического кристалла (по Дебаю)

.

При температурах намного ниже температуры Дебая, как указывалось выше, теплоёмкость пропорциональна кубу температуры

___________________________________________________________________________________

033

Максимальная скорость фотоэлектронов при освещении цезиевого электрода монохроматическим светом оказалась равной v_max =5.5 10⁷ см/с. Работа выхода электрона из цезия составляет А=1,89 эВ. Вычислить длину волны света, применявшегося для освещения этого электрода.

Решение: Дано: v_max =5.5 10⁷ см/с А=1,89 эВ λ-?

По закону фотоэффекта
Отсюда – Ответ.

_______________________________________________________________________________
034

Найдите солнечную постоянную , то есть количество лучистой энергии, посылаемой Солнцем в единицу времени через единичную площадку, перпендикулярно к солнечным лучам и находящуюся на таком же расстоянии от него, как и Земля. Температура поверхности Солнца Т = 5800 . Излучение Солнца считать близким к излучению абсолютно черного тела.

Решение: Дано:

По закону Стефана – Больцмана мощность излучения абсолютно чёрного тела (интегральная мощность по всему спектру), приходящаяся на единицу площади поверхности, прямо пропорциональна четвёртой степени температуры тела:

Тогда

_________________________________________________________________________

035

Найти коэффициент отражения поверхности, если нормально падающий на нее монохроматический световой поток с длиной волны λ=500 нм и объемной плотностью падающих фотонов 10¹⁴ фотон/м³ создает давление 2· 10^-5 Па.

Решение: Дано: λ=500 нм р=2· 10^-5 Па n=10¹⁴ фотон/м³ ρ-?

Давление света на поверхность определяется формулой:

Отсюда

– Ответ

______________________________________________________________________________

036

Определите максимальную и минимальную энергию фотона в видимой серии спектра атома водорода (серия Бальмера).

Решение: Дано:

Формула Ридберга для серии Бальмера выглядит следующим образом:

Где n — главное квантовое число — натуральное число, большее или равное 3.

Первые 4 линии серии находятся в видимом диапазоне, остальные — в ультрафиолетовой области спектра, которая относятся уже серии Леймана.

Энергию находим из формулы:

_________________________________________________________________________

037

монохроматическое излучение с длиной волны  = 500 нм падает нормально на плоскую зеркальную поверхность и давит на нее с силой F = 10 нН. Определите число фотонов, ежесекундно падающих на эту поверхность.

Решение: Дано:

По формуле давление света:

- количество лучистой энергии, падающей нормально на 1 м² поверхности за 1 с, - коэффициент отражения. Тогда

Отсюда

_______________________________________________________________________

038

Потенциал ионизации водородного атома равен φ₁=13,6 эВ.

Исходя из этого, определить:

1) Постаянную Ридберга;

2) Сколько линий серии Бальмера попадают в видимую часть спектра?

Решение:

Энергия (потенциал) ионизации атома φ₁ - минимальная энергия, необходимая для удаления электрона из атома на бесконечность.

При переходе атома водорода (Z= 1) из стационарного состояния n в стационарное состояние m с меньшей энергией испускается квант

откуда частота излучения

Где - постоянная Ридберга. Из условия задачи видно, что k→∞, n=1 Тогда

- ОТВЕТ

Диапазон видимого света: энергия E — 1,7–3,3 эВ частота ν (ню) — 4–8 ·10 Гц

длина волны λ (лямбда) — 380–730 нм

Из формулы определим количество линий, которые полали в видимую область:

Так как n=1, серия Лаймана. Она лежит в ультрафиолетовой области.

С увеличением k частота увеличится, т.е. свет становится более «невидимым».

ОТВЕТ – ни одной линии.

________________________________________________________________________________

039

Катод фотоэлемента освещается монохроматическим светом с длиной волны λ= 310 нм. При ее изменении на 25% задерживающее напряжение уменьшилось на 0,8 В. Рассчитать по этим экспериментальным данным постоянную Планка.

Дано: Решение:

До изменения длины волны уравнение фотоэффекта будет

После изменения длины волны уравнение фотоэффекта будет

Из первого уравнения отнимаем второе уравнение

Отсюда Дж с – Ответ.

_________________________________________________________________________________

040

На какой угол был рассеян фотон с энергией Е_ф - 1,53 МэВ при эффекте Комптона, если кинетическая энергия электрона отдачи T=51 МэВ?

Дано: Решение:

Энергия фотона до рассеяния , где - постоянная Планка, - скорость света в пустоте, - длина волны. Отсюда

Согласно формуле Комптона длина волны после рассеяния равна

- Комптоновская длина электрона, - угол рассеяния.

Отсюда

Энергия фотона после рассеяния , отсюда .

Тогда искомый угол .

Из закона сохранения получаем , отсюда .

Подставляя, получаем

- Ответ.

__________________________________________________________________________________

041

Давление монохроматического света (длина волны равна λ=600 нм), на черную поверхность пластинки, расположенной перпендикулярно к падающим лучам, равно 10^-7 Н/м². Сколько фотонов падает за одну секунду на 1 см² площади этой поверхности пластинки?

Дано: Решение:

Давление одного фотона

Давление всех падающих фотонов на 2 кв.м площади за 1 секунду есть:

Давление всех падающих фотонов на 2 кв.см площади за 1 секунду будет:

Отсюда подставляя, значения найдем - Ответ.

______________________________________________________________________________

042

Найти длину волны в спектре теплового излучения черного тела с энергетической светимостью R=5,7 Вт/см², которой соответствует максимум испускательной способности этого тела.

Дано: Решение:

По закону Стефана - Больцмана

По закону смещения Вина .

Тогда из двух законов получаем или - Ответ.

________________________________________________________________________________

043