Курсовая Работа Аппроксимация функций - shikardos.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Курсовая Работа Аппроксимация функций - страница №1/1




Курсовая Работа - Аппроксимация функций

Министерство образования Российской Федерации Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В. Плеханова (технический университет) КУРСОВАЯ РАБОТАПо дисциплине ИНФОРМАТИКА (наименование учебной дисциплины согласно учебному плану) ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА Тема: Аппроксимация функций методом наименьших квадратовАвтор: студент гр. ИЗ-99-1 /________________/Брук Б.М. (подпись) (Ф.И.О.)ОЦЕНКА: _____________Дата: ___________________ПРОВЕРИЛРуководитель проекта ст. преподаватель /________________/ БыковаЕ.В. (должность) (подпись) (Ф.И.О.) Санкт-Петербург 2000 год|Министерство образования Российской Федерации ||Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В. ||Плеханова ||(технический университет) || | || | || |УТВЕРЖДАЮ || |Заведующий кафедрой|| | || |/______________/ || |доц. /Прудинский || |Г.А./ || | || |"___"__________2000|| |г. | Кафедра Информатики и компьютерных технологий КУРСОВАЯ РАБОТАПо дисциплине ИНФОРМАТИКА (наименование учебной дисциплины согласно учебному плану) ЗАДАНИЕСтуденту группы ИЗ-99-1 Брук Б.М. (шифр группы) (Ф.И.О.)1. Тема проекта: Использование информационных технологий для решенияприкладных задач на примере построения аппроксимации функции методомнаименьших квадратов.2. Исходные данные к проекту: Вариант №22, Задана таблица значений двухнаблюдаемых переменных «X» и «Y».3. Содержание пояснительной записки: Пояснительная записка включает в себязадание на выполнение работы, титульный лист, аннотацию, оглавление,введение, собственно тест пояснительной записки, выводы, библиографическийсписок.4. Перечень графического материала: Представление результатов в видеграфиков, блок-схема.5. Срок сдачи законченного проекта: 1.12.00Руководитель проекта ст. преподаватель /_______________/Быкова Е.В. (должность) (подпись) (Ф.И.О.)Дата выдачи задания: 7.09.00 Санкт-Петербург 2000 год Аннотация. Пояснительная записка представляет собой отчет о выполнении курсовойработы. В ней рассматриваются вопросы по получению эмпирических формулметодом наименьших квадратов (МНК). Расчеты проведены средствами пакетаMicrosoft Excel, в Turbo Pascal 7.0. Страниц - 32, таблиц - 8, рис.5. The Summary The explanatory note presents a report: in which we discuss questionsof the construction of the empirical formulas using method of the leastsquares in Microsoft Excel. Also this task is presented in Turbo Pascal7.0. Pages - 32, tables - 8, pic.5. Оглавление.Введение. 41. Постановка задачи. 62. Расчетные формулы. 7 2.1 Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов 7 2.2 Линеаризация экспоненциальной зависимости. 9 2.3 Элементы теории корреляции. 103. Расчет коэффициентов аппроксимации в Microsoft Excel. 134. Построение графиков в Excel и использование функции ЛИНЕЙН. 215. Программа на языке Pascal. 24 5.1. Блок-схема. 24 5.2. Результаты расчета Pascal. 29Заключение. 30Список литературы. 31 Введение. Аппроксимация (от латинского "approximate" -"приближаться")-приближенное выражение каких-либо математических объектов (например, чиселили функций) через другие более простые, более удобные в пользовании илипросто более известные. В научных исследованиях аппроксимация применяетсядля описания, анализа, обобщения и дальнейшего использования эмпирическихрезультатов. Как известно, между величинами может существовать точная(функциональная) связь, когда одному значению аргумента соответствует одноопределенное значение, и менее точная (корреляционная) связь, когда одномуконкретному значению аргумента соответствует приближенное значение илинекоторое множество значений функции, в той или иной степени близких друг кдругу. При ведении научных исследований, обработке результатов наблюденияили эксперимента обычно приходиться сталкиваться со вторым вариантом. Приизучении количественных зависимостей различных показателей, значениякоторых определяются эмпирически, как правило, имеется некоторая ихвариабельность. Частично она задается неоднородностью самих изучаемыхобъектов неживой и, особенно, живой природы, частично обуславливаетсяпогрешностью наблюдения и количественной обработке материалов. Последнююсоставляющую не всегда удается исключить полностью, можно лишьминимизировать ее тщательным выбором адекватного метода исследования иаккуратностью работы. Поэтому при выполнении любой научно-исследовательскойработы возникает проблема выявления подлинного характера зависимостиизучаемых показателей, этой или иной степени замаскированных неучтенностьювариабельности значений. Для этого и применяется аппроксимация -приближенное описание корреляционной зависимости переменных подходящимуравнением функциональной зависимости, передающим основную тенденциюзависимости (или ее "тренд"). При выборе аппроксимации следует исходить из конкретной задачиисследования. Обычно, чем более простое уравнение используется дляаппроксимации, тем более приблизительно получаемое описание зависимости.Поэтому важно считывать, насколько существенны и чем обусловлены отклоненияконкретных значений от получаемого тренда. При описании зависимостиэмпирически определенных значений можно добиться и гораздо большейточности, используя какое-либо более сложное, много параметрическоеуравнение. Однако нет никакого смысла стремиться с максимальной точностьюпередать случайные отклонения величин в конкретных рядах эмпирическихданных. Гораздо важнее уловить общую закономерность, которая в данномслучае наиболее логично и с приемлемой точностью выражается именнодвухпараметрическим уравнением степенной функции. Таким образом, выбираяметод аппроксимации, исследователь всегда идет на компромисс: решает, вкакой степени в данном случае целесообразно и уместно «пожертвовать»деталями и, соответственно, насколько обобщенно следует выразитьзависимость сопоставляемых переменных. Наряду с выявлением закономерностей,замаскированных случайными отклонениями эмпирических данных от общейзакономерности, аппроксимация позволяет также решать много других важныхзадач: формализовать найденную зависимость; найти неизвестные значениязависимой переменной путем интерполяции или, если это допустимо,экстраполяции. 1. Постановка задачи. Во всех вариантах требуется: 1. Используя метод наименьших квадратов функцию [pic], заданную таблично, аппроксимировать а) многочленом первой степени [pic]; б) многочленом второй степени [pic]; в) экспоненциальной зависимостью [pic]. 2. Для каждой зависимости вычислить коэффициент детерминированности. 3. Вычислить коэффициент корреляции (только в случае а). 4. Для каждой зависимости построить линию тренда. 5. Используя функцию ЛИНЕЙН вычислить числовые характеристикизависимости y от x. 6. Сравнить свои вычисления с результатами, полученными при помощифункции ЛИНЕЙН. 7. Сделать вывод, какая из полученных формул наилучшим образомаппроксимирует функцию [pic]. 8. Написать программу на одном из языков программирования и сравнитьрезультаты счета с полученными выше. 2. Расчетные формулы. 2.1 Построение эмпирических формул методом наименьших квадратов Очень часто, особенно при анализе эмпирических данных возникаетнеобходимость найти в явном виде функциональную зависимость междувеличинами x и y , которые получены в результате измерений.При аналитическом исследовании взаимосвязи между двумя величинами x и yпроизводят ряд наблюдений и в результате получается таблица значений:|x |[pic] |[pic] |( |[pic] |( |[pic] ||y |[pic] |[pic] |( |[pic] |( |[pic] | Эта таблица обычно получается как итог каких-либо экспериментов, вкоторых [pic] (независимая величина) задается экспериментатором, а [pic]получается в результате опыта. Поэтому эти значения [pic] будем называтьэмпирическими или опытными значениями. Между величинами x и y существует функциональная зависимость, но ееаналитический вид обычно неизвестен, поэтому возникает практически важнаязадача - найти эмпирическую формулу [pic] (2.1.1)(где [pic] - параметры), значения которой при [pic] возможно малоотличались бы от опытных значений [pic]. Обычно указывают класс функций (например, множество линейных,степенных, показательных и т.п.) из которого выбирается функция [pic], идалее определяются наилучшие значения параметров. Если в эмпирическую формулу (2.1.1) подставить исходные [pic], тополучим теоретические значения [pic], где [pic].Разности [pic] называются отклонениями и представляют собой расстояния повертикали от точек [pic] до графика эмпирической функции. Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами [pic]считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной эмпирическойфункции от заданных значений функции [pic] (2.1.2)будет минимальной. Поясним геометрический смысл метода наименьших квадралтов.Каждая пара чисел [pic] из исходной таблицы определяет точку [pic] наплоскости [pic]. Используя формулу (2.1.1) при различных значенияхкоэффициентов [pic] можно построить ряд кривых, которые являются графикамифункции (2.1.1). Задача состоит в определении коэффициентов [pic] такимобразом, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали от точек [pic] дографика функции (2.1.1) была наименьшей. Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов: выяснениеобщего вида этой формулы и определение ее наилучших параметров.Если неизвестен характер зависимости между данными величинами x и y , товид эмпирической зависимости является произвольным. Предпочтение отдаетсяпростым формулам, обладающим хорошей точностью. Удачный выбор эмпирическойформулы в значительной мере зависит от знаний исследователя в предметнойобласти, используя которые он может указать класс функций из теоретическихсоображений. Большое значение имеет изображение полученных данных вдекартовых или в специальных системах координат (полулогарифмической,логарифмической и т.д.). По положению точек можно примерно угадать общийвид зависимости путем установления сходства между построенным графиком иобразцами известных кривых. Определение наилучших коэффициентов [pic] входящих в эмпирическуюформулу производят хорошо известными аналитическими методами. Для того, чтобы найти набор коэффициентов [pic], которые доставляютминимум функции S , определяемой формулой (2.1.2), используем необходимоеусловие экстремума функции нескольких переменных - равенство нулю частныхпроизводных. В результате получим нормальную систему для определениякоэффициентов [pic]: [pic] (2.1.3)Таким образом, нахождение коэффициентов [pic] сводится к решению системы(2.1.3). Эта система упрощается, если эмпирическая формула (2.1.1) линейнаотносительно параметров [pic], тогда система (2.1.3) - будет линейной. Конкретный вид системы (2.1.3) зависит от того, из какого классаэмпирических формул мы ищем зависимость (2.1.1). В случае линейнойзависимости [pic] система (2.1.3) примет вид: [pic] (2.1.4) Эта линейная система может быть решена любым известным методом(методом Гаусса, простых итераций, формулами Крамера). В случае квадратичной зависимости [pic] система (2.1.3) примет вид: [pic] (2.1.5) 2.2 Линеаризация экспоненциальной зависимости. В ряде случаев в качестве эмпирической формулы берут функцию в которуюнеопределенные коэффициенты входят нелинейно. При этом иногда задачуудается линеаризовать, т.е. свести к линейной. К числу таких зависимостейотносится экспоненциальная зависимость [pic] (2.2.1)где [pic]и [pic] неопределенные коэффициенты. Линеаризация достигается путем логарифмирования равенства (2.2.1),после чего получаем соотношение [pic] (2.2.2) Обозначим [pic] и [pic] соответственно через [pic] и [pic], тогдазависимость (2.2.1) может быть записана в виде [pic], что позволяетприменить формулы (2.1.4) с заменой [pic] на [pic] и [pic] на [pic] . 2.3 Элементы теории корреляции. График восстановленной функциональной зависимости [pic] по результатамизмерений [pic] называется кривой регрессии. Для проверки согласияпостроенной кривой регрессии с результатами эксперимента обычно вводятследующие числовые характеристики: коэффициент корреляции (линейнаязависимость), корреляционное отношение и коэффициент детерминированности.При этом результаты обычно группируют и представляют в форме корреляционнойтаблицы. В каждой клетке этой таблицы приводятся численности [pic] тех пар[pic], компоненты которых попадают в соответствующие интервалы группировкипо каждой переменной. Предполагая длины интервалов группировки (по каждойпеременной) равными между собой, выбирают центры [pic] (соответственно[pic]) этих интервалов и числа [pic] в качестве основы для расчетов.Коэффициент корреляции является мерой линейной связи между зависимымислучайными величинами: он показывает, насколько хорошо в среднем может бытьпредставлена одна из величин в виде линейной функции от другой.Коэффициент корреляции вычисляется по формуле: [pic], (2.3.1)где [pic],[pic] и [pic] ( среднее арифметическое значение соответственнопо x и y. Коэффициент корреляции между случайными величинами по абсолютнойвеличине не превосходит 1. Чем ближе [pic] к 1, тем теснее линейная связьмежду x и y. В случае нелинейной корреляционной связи условные средние значениярасполагаются около кривой линии. В этом случае в качестве характеристикисилы связи рекомендуется использовать корреляционное отношение,интерпретация которого не зависит от вида исследуемой зависимости.Корреляционное отношение вычисляется по формуле: [pic], (2.3.2)где [pic], а числитель характеризует рассеяние условных средних [pic] околобезусловного среднего [pic]. Всегда [pic]. Равенство [pic] соответствует некоррелированнымслучайным величинам; [pic] тогда и только тогда, когда имеется точнаяфункциональная связь между y и x. В случае линейной зависимости y от xкорреляционное отношение совпадает с квадратом коэффициента корреляции.Величина [pic] используется в качестве индикатора отклонения регрессии отлинейной. Корреляционное отношение является мерой корреляционной связи y с x вкакой угодно форме, но не может дать представления о степени приближенностиэмпирических данных к специальной форме. Чтобы выяснить насколько точнопостроенная кривая отражает эмпирические данные вводится еще однахарактеристика ( коэффициент детерминированности. Для его описания рассмотрим следующие величины. [pic] - полная суммаквадратов, где [pic] среднее значение [pic]. Можно доказать следующее равенство [pic]. Первое слагаемое равно [pic] и называется остаточной суммой квадратов.Оно характеризует отклонение экспериментальных данных от теоретических. Второе слагаемое равно [pic]и называется регрессионной суммойквадратов и оно характеризует разброс данных. Очевидно, что справедливо следующее равенство [pic]. Коэффициент детерминированности определяется по формуле: [pic]. (2.3.3) Чем меньше остаточная сумма квадратов по сравнению с общей суммойквадратов, тем больше значение коэффициента детерминированности [pic],который показывает, насколько хорошо уравнение, полученное с помощьюрегрессионного анализа, объясняет взаимосвязи между переменными. Если онравен 1, то имеет место полная корреляция с моделью, т.е. нет различиямежду фактическим и оценочным значениями y. В противоположном случае, есликоэффициент детерминированности равен 0, то уравнение регрессии неудачнодля предсказания значений y. Коэффициент детерминированности всегда не превосходит корреляционноеотношение. В случае когда выполняется равенство [pic] то можно считать, чтопостроенная эмпирическая формула наиболее точно отражает эмпирическиеданные. 3. Расчет коэффициентов аппроксимации в Microsoft Excel. Вариант №22Функция y=f(x) задана таблицей 1 Таблица 1 Исходные данные.|[pic] |[pic] |[pic|[pic] |[pic|[pic|[pic|[pic|[pic] |[pic] || | |] | |] |] |] |] | | ||12.85 |154.77 |9.65|81.43 |7.74|55.8|5.02|24.9|1.86 |3.91 || | | | | |6 | |8 | | ||12.32 |145.59 |9.63|80.97 |7.32|47.6|4.65|22.8|1.76 |3.22 || | | | | |3 | |7 | | ||11.43 |108.37 |9.22|79.04 |7.08|48.0|4.53|20.3|1.11 |1.22 || | | | | |3 | |2 | | ||10.59 |100.76 |8.44|61.76 |6.87|36.8|3.24|9.06|0.99 |1.10 || | | | | |5 | | | | ||10.21 |98.32 |8.07|60.54 |5.23|25.6|2.55|6.23|0.72 |0.53 || | | | | |5 | | | | | Требуется выяснить - какая из функций - линейная, квадратичная илиэкспоненциальная наилучшим образом аппроксимирует функцию заданную таблицей1. Решение. Поскольку в данном примере каждая пара значений [pic] встречается одинраз, то между [pic]и[pic] существует функциональная зависимость. Для проведения расчетов данные целесообразно расположить в видетаблицы 2, используя средства табличного процессора Microsoft Excel. Таблица 2 Расчет сумм.Поясним как таблица 2 составляется. Шаг 1. В ячейки A2:A26 заносим значения [pic]. Шаг 2. В ячейки B2:B26 заносим значения [pic]. Шаг 3. В ячейку C2 вводим формулу =A2^2. Шаг 4. В ячейки C3:C26 эта формула копируется. Шаг 5. В ячейку D2 вводим формулу =A2*B2. Шаг 6. В ячейки D3:D26 эта формула копируется. Шаг 7. В ячейку F2 вводим формулу =A2^4. Шаг 8. В ячейки F3:F26 эта формула копируется. Шаг 9. В ячейку G2 вводим формулу =A2^2*B2. Шаг 10. В ячейки G3:G26 эта формула копируется. Шаг 11. В ячейку H2 вводим формулу =LN(B2). Шаг 12. В ячейки H3:H26 эта формула копируется. Шаг 13. В ячейку I2 вводим формулу =A2*LN(B2). Шаг 14. В ячейки I3:I26 эта формула копируется.Последующие шаги делаем с помощью автосуммирования [pic]. Шаг 15. В ячейку A27 вводим формулу =СУММ(A2:A26). Шаг 16. В ячейку B27 вводим формулу =СУММ(B2:B26). Шаг 17. В ячейку C27 вводим формулу =СУММ(C2:C26). Шаг 18. В ячейку D27 вводим формулу =СУММ(D2:D26). Шаг 19. В ячейку E27 вводим формулу =СУММ(E2:E26). Шаг 20. В ячейку F27 вводим формулу =СУММ(F2:F26). Шаг 21. В ячейку G27 вводим формулу =СУММ(G2:G26). Шаг 22. В ячейку H27 вводим формулу =СУММ(H2:H26). Шаг 23. В ячейку I27 вводим формулу =СУММ(I2:I26).Аппроксимируем функцию [pic]линейной функцией [pic]. Для определениякоэффициентов [pic] и [pic] воспользуемся системой [pic] Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A27, B27,C27 и D27, запишем систему в виде [pic]решив которую, получим [pic] и [pic]. Таким образом, линейная аппроксимация имеет вид [pic]. Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel.Результаты представлены в таблице 3. Таблица 3 Результаты коэффициентов линейной аппроксимации. В таблице 3 в ячейках A37:B38 записана формула =МОБР(A33:B34). В ячейках D37:D38 записана формула =МУМНОЖ(A37:B38;C33:C34). Далее аппроксимируем функцию [pic] квадратичной функцией [pic]. Дляопределения коэффициентов [pic], [pic] и [pic] воспользуемся системой [pic] Используя итоговые суммы таблицы 2,расположенные в ячейках A27, B27, C27, D27, E27, F27 и G27 запишем системув виде [pic]решив которую, получим [pic], [pic]и [pic]. Таким образом, квадратичная аппроксимация имеет вид [pic] . Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel.Результаты представлены в таблице 4. Таблица 4 Результаты коэффициентов квадратичной аппроксимации. В таблице 4 в ячейках E38:G40 записана формула =МОБР(E33:G35). В ячейках I38:I40 записана формула =МУМНОЖ(E38:G40;H33:H35). Теперь аппроксимируем функцию [pic] экспоненциальной функцией [pic].Для определения коэффициентов [pic] и [pic] прологарифмируем значения [pic]и используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A27, C27, H27и I27 получим систему[pic]где [pic]. Решив систему, найдем [pic], [pic]. После потенцирования получим [pic]. Таким образом, экспоненциальная аппроксимация имеет вид [pic] . Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel.Результаты представлены в таблице 5. Таблица 5 Результаты коэффициентов экспоненциальной аппроксимации. В таблице 5 в ячейках D45:E46 записана формула =МОБР(D42:943). В ячейках G45:G46 записана формула =МУМНОЖ(D45:E46;F42:F43). В ячейке G47 записана формула =EXP(G45). Вычислим среднее арифметическое [pic] и [pic] по формулам: [pic] Результаты расчета [pic] и [pic] средствами Microsoft Excelпредставлены в таблице 6. Таблица 6 Вычисление средних значений X и Y. В ячейке F49 записана формула =A26/25. В ячейке F50 записана формула =B26/25. Для того, чтобы рассчитать коэффициент корреляции и коэффициентдетерминированности данные целесообразно расположить в виде таблицы 7,которая является продолжением таблицы 2. Таблица 7 Вычисление остаточных сумм. Поясним как таблица 7 составляется. Ячейки A2:A27 и B2:B27 уже заполнены (см. табл. 2). Далее делаем следующие шаги. Шаг 1. В ячейку J2 вводим формулу =(A2-$F$49)*(B2-$F$50). Шаг 2. В ячейки J3:J26 эта формула копируется. Шаг 3. В ячейку K2 вводим формулу =(A2-$F$49)^2. Шаг 4. В ячейки K3:K26 эта формула копируется. Шаг 5. В ячейку L2 вводим формулу =(B2-$F$50)^2. Шаг 6. В ячейки L3:L26 эта формула копируется. Шаг 7. В ячейку M2 вводим формулу =($D$37+$D$38*A2-B2)^2. Шаг 8. В ячейки M3:M26 эта формула копируется. Шаг 9. В ячейку N2 вводим формулу =($I$38+$I$39*A2+$I$40*A2^2-B2)^2. Шаг 10. В ячейки N3:N26 эта формула копируется. Шаг 11. В ячейку O2 вводим формулу =($G$47*EXP($G$46*A2)-B2)^2. Шаг 12. В ячейки O3:O26 эта формула копируется.Последующие шаги делаем с помощью автосуммирования [pic]. Шаг 13. В ячейку J27 вводим формулу =СУММ(J2:J26). Шаг 14. В ячейку K27 вводим формулу =СУММ(K2:K26). Шаг 15. В ячейку L27 вводим формулу =СУММ(L2:L26). Шаг 16. В ячейку M27 вводим формулу =СУММ(M2:M26). Шаг 17. В ячейку N27 вводим формулу =СУММ(N2:N26). Шаг 18. В ячейку O27 вводим формулу =СУММ(O2:O26). Теперь проведем расчеты коэффициента корреляции по формуле [pic] (только для линейной аппроксимации)и коэффициента детерминированности по формуле [pic]. Результаты расчетовсредствами Microsoft Excel представлены в таблице 8. Таблица 8 Результаты расчета.В таблице 8 в ячейке D53 записана формула =J27/(K27*L27)^(1/2).В ячейке D54 записана формула =1- M27/L27.В ячейке D55 записана формула =1- N27/L27.В ячейке D56 записана формула =1- O27/L27. Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная аппроксимациянаилучшим образом описывает экспериментальные данные. 4. Построение графиков в Excel и использование функции ЛИНЕЙН. Рассмотрим результаты эксперимента, приведенные в исследованном вышепримере. Исследуем характер зависимости в три этапа: 1. Построим график зависимости. 2. Построим линию тренда ([pic], [pic], [pic]). 3. Получим числовые характеристики коэффициентов этого уравнения.[pic] Рис.4.1. График зависимости y от x[pic] Рис.4.2. График линейной аппроксимации[pic] Рис.4.3. График квадратичной аппроксимации.[pic] Рис.4.4. График экспоненциальной аппроксимации. Примечание: Полученное при построении линии тренда значениекоэффициента детерминированности для экспоненциальной зависимости [pic] несовпадает с истинным значением [pic], поскольку при вычислении коэффициентадетерминированности используются не истинные значения [pic], апреобразованные значения [pic] с дальнейшей линеаризацией. Таблица 9 5. Программа на языке Pascal. 5.1. Схема алгоритма. Рис.5.1. Блок-схемаprogram Kramer;uses CRT;constn=25;typeTArrayXY = array[1..2,1..n] of real;TArray = array[1..n] of real;var SumX,SumY,SumX2,SumXY,SumX3,SumX4,SumX2Y,SumLnY,SumXLnY: real; OPRlin,OPRkvadr,OPRa1,OPRa2,OPRa3:real; a1lin,a2lin,a1kvadr,a2kvadr,a3kvadr,a1exp,a2exp,cexp:real; Xsr,Ysr,S1,S2,S3,Slin,Skvadr,Sexp:real; Kkor,KdetLin,KdetKvadr,KdetExp:real; i:byte;constArrayXY:TArrayXY=((12.85,12.32,11.43,10.59,10.21,9.65,9.63,9.22,8.44,8.07,7.74,7.32,7.08,6.87,5.23,5.02,4.65,4.53,3.24,2.55,1.86,1.76,1.11,0.99,0.72) ,(154.77145.59,108.37,100.76,98.32,81.43,80.97,79.04,61.76,60.54,55.86,47.63,48.03,36.85,25.65,24.98,22.87,20.32,9.06,6.23,3.91,3.22,1.22,1.10,0.53)); begin ClrScr; SumX:=0.0; SumY:=0.0; SumXY:=0.0; SumX2:=0.0; SumX3:=0.0; SumX4:=0.0; SumX2Y:=0.0; SumLnY:=0.0; SumXLnY:=0.0; Вычисление сумм x, y, x*y, x^2, x^3, x^4, (x^2)*y, Ln(y), x*Ln(y) for i:=1 to n do begin SumX:=SumX+ArrayXY[1,i]; SumY:=SumY+ArrayXY[2,i]; SumXY:=SumXY+ArrayXY[1,i]*ArrayXY[2,i]; SumX2:=SumX2+sqr(ArrayXY[1,i]); SumX3:=SumX3+ArrayXY[1,i]*ArrayXY[1,i]*ArrayXY[1,i]; SumX4:=SumX4+sqr(ArrayXY[1,i])*sqr(ArrayXY[1,i]); SumX2Y:=SumX2Y+sqr(ArrayXY[1,i])*ArrayXY[2,i]; SumLnY:=SumLnY+ln(ArrayXY[2,i]); SumXLnY:=SumXLnY+ArrayXY[1,i]*ln(ArrayXY[2,i]) end; Вычисление коэффициентов OPRlin:=0.0; a1lin:=0.0; a2lin:=0.0; a1kvadr:=0.0; OPRkvadr:=0.0; a2kvadr:=0.0; a2kvadr:=0.0; a1exp:=0.0; a2exp:=0.0; OPRlin:=n*SumX2-SumX*SumX; a1lin:=(SumX2*SumY-SumX*SumXY)/OPRlin; a2lin:=(n*SumXY-SumX*SumY)/OPRlin; OPRkvadr:=n*SumX2*SumX4+SumX*SumX3*SumX2+SumX2*SumX*SumX3-SumX2*SumX2*SumX2-n*SumX3*SumX3-SumX*SumX*SumX4; a1kvadr:=(SumY*SumX2*SumX4+SumX*SumX2Y*SumX3+SumX2*SumXY*SumX3-SumX2*SumX2*SumX2Y-SumY*SumX3*SumX3-SumX*SumXY*SumX4)/OPRkvadr; a2kvadr:=(n*SumXY*SumX4+SumY*SumX3*SumX2+SumX2*SumX*SumX2Y-SumX2*SumX2*SumXY-n*SumX3*SumX2Y-SumY*SumX*SumX4)/OPRkvadr; a3kvadr:=(n*SumX2*SumX2Y+SumX*SumXY*SumX2+SumY*SumX*SumX3-SumY*SumX2*SumX2-n*SumXY*SumX3-SumX*SumX*SumX2Y)/OPrkvadr; a2exp:=(n*SumXLnY-SumX*SumLnY)/OPRlin; cexp:=(SumX2*SumLnY-SumX*SumXLnY)/OPRlin; a1exp:=exp(cexp); Вычисление средних арифметических x и y Xsr:=SumX/n; Ysr:=SumY/n; S1:=0.0; S2:=0.0; S3:=0.0; Slin:=0.0; Skvadr:=0.0; Sexp:=0.0; Kkor:=0.0; KdetLin:=0.0; KdetKvadr:=0.0; KdetExp:=0.0;for i:=1 to n do begin S1:=S1+(ArrayXY[1,i]-Xsr)*(ArrayXY[2,i]-Ysr); S2:=S2+sqr(ArrayXY[1,i]-Xsr); S3:=S3+sqr(ArrayXY[2,i]-Ysr); Slin:=Slin+sqr(a1lin+a2lin*ArrayXY[1,i]-ArrayXY[2,i]);Skvadr:=Skvadr+sqr(a1kvadr+a2kvadr*ArrayXY[1,i]+a3kvadr*ArrayXY[1,i]*ArrayXY[1,i]-ArrayXY[2,i]); Sexp:=Sexp+sqr(a1exp*exp(a2exp*ArrayXY[1,i])-ArrayXY[2,i]); end; Вычисление коэффициентов корреляции и детерминированности Kkor:=S1/sqrt(S2*S3); KdetLin:=1-Slin/S3; KdetKvadr:=1-Skvadr/S3; KdetExp:=1-Sexp/S3; Вывод результатов WriteLn('Линейная функция'); WriteLn('a1=',a1lin:8:5); WriteLn('a2=',a2lin:8:5); WriteLn('Квадратичная функция'); WriteLn('a1=',a1kvadr:8:5); WriteLn('a2=',a2kvadr:8:5); WriteLn('a3=',a3kvadr:8:5); WriteLn('Экспоненциальная функция'); WriteLn('a1=',a1exp:8:5); WriteLn('a2=',a2exp:8:5); WriteLn('c=',cexp:8:5); WriteLn('Xcp=',Xsr:8:5); WriteLn('Ycp=',Ysr:8:5); WriteLn('Коэффициент корреляции ',Kkor:8:5); WriteLn('Коэффициент детерминированности (линейная аппроксимация)',KdetLin:2:5); WriteLn('Коэффициент детерминированности (квадратическая аппроксимация)',KdetKvadr:2:5); WriteLn('Коэффициент детерминированности (экспоненциальная аппроксимация)',KdetExp:2:5);end. 5.2. Результаты расчета Pascal.Коэффициенты линейной функцииa1=-24.73516a2=11.63471Коэффициенты квадратичной функцииa1= 1.59678a2=-0.62145a3= 0.95543Коэффициенты экспоненциальной функцииa1= 1.65885a2= 0.40987c= 0.50613Xcp= 6.52320Ycp=51.16040Коэффициент корреляции 0.96196Коэффициент детерминированности (линейная аппроксимация) 0.92537Коэффициент детерминированности (квадратическая аппроксимация) 0.99409Коэффициент детерминированности (экспоненциальная аппроксимация) 0.02691 Заключение. Сделаем заключение по результатам полученных данных:1. Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная аппроксимациянаилучшим образом описывает экспериментальные данные т.к. согласно таблице8 коэффициент корреляции - 0,9620; Коэффициенты детерминированностилинейной аппроксимации - 0,9253; квадратической аппроксимации – 0,994;экспоненциальной аппроксимация – 0,0269.2. Сравнивая результаты, полученные при помощи функции ЛИНЕЙН видим что ониполностью совпадают с вычислениями, проведенными выше. Это указывает на то,что вычисления верны.3. Полученное при построении линии тренда значение коэффициентадетерминированности для экспоненциальной зависимости не совпадает систинным значением поскольку при вычислении коэффициентадетерминированности используются не истинные значения y, а преобразованныезначения ln(y) с дальнейшей линеаризацией.4. Результаты полученные с помощью программы на языке PASCAL полностьюсовпадают со значениями приведенными выше. Это говорит о верностивычислений. Список литературы.1. Ахметов К.С. Windows 95 для всех. - М.:ТОО "КомпьютерПресс", 1995.2. Вычислительная техника и программирование. Под ред. А.В. Петрова. М.: Высшая школа, 1991.3. Гончаров A., Excel 97 в примерах. — СПб: Питер, 1997.4. Левин А., Самоучитель работы на компьютере. - М.: Международное агентство А.Д.Т., 1996.5. Информатика: Методические указания к курсовой работе. Санкт- Петербургский горный институт. Сост. Д.Е. Гусев, Г.Н. Журов. СПб, 1999-----------------------[pic] Конец Вывод полученных результатов на экран. Вычисление коэффициентов корреляции и детерминированности по формулам (2.3.1.) и (2.3.3.) соответственно. Вычисление среднего арифметического x и y Аппроксимация функции y=f(x) линейной, квадратичной и экспоненциальной функциями [pic],[pic],[pic]. Ввод исходных значений x(i) и y(i) согласно таблице 1 Начало[pic][pic][pic][pic][pic][pic][pic]