§ 8. Экстремумы, Наибольшее и наименьшее значения функций нескольких переменных.

1. Экстремумы функций нескольких переменных.

Пусть функция двух переменных определена в некоторой области плоскости , – точка этой области.

Точка называется точкой максимума функции , если для любой точки из некоторой окрестности точки выполняется неравенство

.

Аналогично точка называется точкой минимума функции , если для любой точки из некоторой окрестности точки выполняется неравенство

.

Замечания. 1) По смыслу определений функция должна быть определена в некоторой окрестности точки . Т.е. точкой максимума и точкой минимума функции могут быть только внутренние точки области .

2) Если существует окрестность точки , в которой для любой точки отличной от выполняется неравенство (), то точку называют точкой строгого максимума (соответственно точкой строгого минимума) функции . В связи с этим, определенные выше точки максимума и минимума называют иногда точками нестрого максимума и минимума.

Точки максимума и минимума функции называются ее точками экстремума. Значения функции в точках максимума и минимума называются соответственно максимумами и минимумами, или, короче, экстремумами этой функции.

Понятия экстремумов носят локальный характер: значение функции в точке сравнивается со значениями функции в достаточно близких точках. В данной области функция может совсем не иметь экстремумов, а может иметь несколько минимумов, несколько максимумов и даже бесчисленное множество и тех и других. При этом некоторые минимумы могут оказаться больше некоторых ее максимумов. Не следует смешивать максимумы и минимумы функции с ее наибольшим и наименьшим значениями.

Найдем необходимое условие экстремума. Пусть, например, – точка максимума функции . Тогда по определению существует gif" align=absmiddle width="17px" height="18px">-окрестность точки такая, что для любой точки из этой окрестности. В частности,

(1)

где , , и

(2)

где , . Но (1) означает, что функция одной переменной имеет в точке максимум или является на интервале постоянной. Следовательно,

или – не существует,

⇒ или – не существует.

Аналогично из (2) получаем, что

или – не существует.

Таким образом, справедлива следующая теорема.

ТЕОРЕМА 8.1. (необходимые условия экстремума). Если функция в точке имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее частные производные первого порядка равны нулю, либо хотя бы одна из этих частных производных не существует.

Геометрически теорема 8.1 означает, что если – точка экстремума функции , то касательная плоскость к графику этой функции в точке либо параллельна плоскости , либо вообще не существует. Чтобы убедиться в этом, достаточно вспомнить, как найти уравнение касательной плоскости к поверхности (см. формулу (4.6)).

Точки, удовлетворяющие условиям теоремы 8.1, называются критическими точками функции . Также как и для функции одной переменной, необходимые условия экстремума не является достаточным. Т.е. не всякая критическая точка функции будет ее точкой экстремума.

ПРИМЕР. Рассмотрим функцию . Точка является для этой функции критической, так как в этой точке обе ее частные производные первого порядка и равны нулю. Однако она не будет точкой экстремума. Действительно, , но в любой окрестности точки есть точки, в которых функция принимает положительные значения и точки, в которых функция принимает отрицательные значения. В этом легко убедиться, если построить график функции – гиперболический параболоид.

Для функции двух переменных наиболее удобные достаточные условия дает следующая теорема.

ТЕОРЕМА 8.2. (достаточные условия экстремума функции двух переменных). Пусть – критическая точка функции и в некоторой окрестности точки функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Обозначим

, , .

Тогда 1) если , то точка не является точкой экстремума;

2. 
   если и , то в точке функция имеет минимум;
   
3. 
   если и , то в точке функция имеет максимум;
   
4. 
   если , то никакого заключения о критической точке сделать нельзя и требуются дополнительные исследования.
   

Если с помощью теоремы 8.2 исследовать критическую точку не удалось (т.е. если или функция вообще не имеет в окрестности точки непрерывных частных производных нужного порядка), ответ на вопрос о наличии в точке экстремума даст знак приращения функции в этой точке.

Действительно, из определения следует, что если функция имеет в точке строгий максимум, то

для всех точек из некоторой окрестности точки , или, иначе

при всех достаточно малых и . Аналогично, если – точка строгого минимума, то при всех достаточно малых и будет выполняться неравенство .

Таким образом, чтобы выяснить, является ли критическая точка точкой экстремума, необходимо исследовать приращение функции в этой точке. Если при всех достаточно малых и оно будет сохранять знак, то в точке функция имеет строгий экстремум (минимум, если , и максимум, если ).

Замечание. Правило остается верным и для нестрого экстремума, но с поправкой, что при некоторых значениях и приращение функции будет нулевым
ПРИМЕР. Найти экстремумы функций:

1) ; 2) .

1) Функция определена всюду. Ее частные производные первого порядка и тоже существуют всюду. Решая систему уравнений , найдем две критические точки и .

Для исследования критических точек применим теорему 8.2. Имеем:

, , .

Исследуем точку :

, , ,

; .

Следовательно, в точке данная функция имеет минимум, а именно .

Исследуем критическую точку :

, , , .

Следовательно, вторая критическая точка не является точкой экстремума функции.

2) Функция определена всюду. Ее частные производные первого порядка и тоже существуют всюду. Решая систему уравнений , найдем единственную критическую точку .

Для исследования критической точки применим теорему 8.2. Имеем:

, , ,

, , , .

Установить наличие или отсутствие экстремума в точке с помощью теоремы 8.2 не удалось.

Исследуем знак приращения функции в точке :



.

Если , то ;

если , то .

Поскольку не сохраняет знак в окрестности точки , то в этой точке функция не имеет экстремума.

Определения максимума и минимума и необходимые условия экстремума легко переносятся на функции трех и более числа переменных. Достаточные условия экстремума для функции () переменных ввиду их сложности в данном курсе не рассматриваются. Определять характер критических точек в этом случае мы будем по знаку приращения функции.

2. Наибольшее и наименьшее значения функции.

Пусть функция двух переменных определена в некоторой области плоскости , , – точки этой области. Значение функции в точке называется наибольшим, если для любой точки из области выполняется неравенство

.

Аналогично значение функции в точке называется наименьшим, если для любой точки из области выполняется неравенство .

Ранее, мы уже говорили, что если функция непрерывна, а область – замкнута и ограничена, то функция принимает в этой области свое наибольшее и наименьшее значения. При этом точки и могут лежать как внутри области , так и на ее границе. Если точка (или ) лежит внутри области , то это будет точка максимума (минимума) функции , т.е. критическая точка функции внутри области . Поэтому для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции в области нужно:

1. 
   найти все критические точки функции внутри области ;
   
2. 
   вычислить значения функции в критических точках;
   
3. 
   найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области ;
   
4. 
   из всех полученных таким образом значений функции выбрать наибольшее и наименьшее.
   

ПРИМЕР. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, ограниченной линиями , , .

1) Ищем критические точки функции внутри области. Имеем:

,

.

Итак, внутри области находится только одна критическая точка . Значение функции в этой точке .

2) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на границе области. Область – треугольник с вершинами , , . Граница состоит из трех отрезков, каждый из которых задается своим уравнением. Необходимо рассмотреть каждый из этих отрезков.

Рассмотрим отрезок . Его уравнение , т.е. на этом отрезке (). Это функция одной переменной и она может достигать своего наибольшего и наименьшего значений либо на концах отрезка, т.е. при или , либо в тех точках, в которых ее производная обращается в ноль. В итоге получили, что наибольшее и наименьшее значения исходная функция может принять на отрезке в трех точках: , и . Вычислим в них значения функции: , , .

Рассмотрев аналогичным образом отрезки и , мы получим еще три «подозрительные» точки: , и . Значения функции в этих точках: , , .

Сравнивая значения функции во всех найденных точках, приходим к выводу, что наибольшее значение функция в данной области равно 3 и достигается в точках и , а наименьшее значение равно и достигается в точке .