Егоров Дмитрий Геннадьевич аннотация - shikardos.ru o_O
Главная
Поиск по ключевым словам:
страница 1
Похожие работы
Егоров Дмитрий Геннадьевич аннотация - страница №1/1



Моделирование процессов самоорганизации финансовых систем
Егоров Дмитрий Геннадьевич

аннотация
Для исследования нелинейных эффектов в финансовых системах предлагается микроэкономический подход на основе базисной метафоры нелинейной диффузии: то есть подход, дополненный (в отличие от неоклассической идеализации рационального эгоизма) некими дополнительными параметрами, отражающими рефлексивность (в терминологии Дж.Сороса). Найдена базовая математическая модель исследуемого процесса: уравнение распространения тепла в нелинейной среде с горением. Проведена конкретизация этой базовой модели применительно к поставленной задаче.


Введение


Вторая половина ХХ века ознаменовалась в большинстве стран мира прогрессирующим отрывом процессов на фондовых и финансовых рынках от реальной экономики. Так, Г.Мартин и Х.Шуман отмечают, что уже в 1995 году совокупный мировой оборот фьючерсов за год составлял 41 триллион долларов (причем только 2-3 % этой финансовой системы реально страхуют риски торговли и промышленности, а остальные полностью оторваны от реальной экономики).1

Во многих экономических исследованиях эксплицированы эмпирические закономерности этого процесса, и конкретные механизмы функционирования складывающейся на наших глазах мировой финансовой мета-системы.2 В то же время, в экономической печати почти отсутствуют работы, дающие объяснение процессов финансовой глобализации на уровне теоретических моделей. Это достаточно закономерно, и связано с господством в экономической теории априорно-равновесных микроэкономических подходов, в принципе не годящихся для объяснения актуально наблюдаемых на мировых финансовых рынках ситуаций длительного неравновесия.



. Эта ситуация стимулирует поиски новых подходов к описанию экономической реальности. В настоящей работе для исследования нелинейных эффектов в финансовых системах мы предлагаем математическую микроэкономическую модель, построенную на основе базисной метафоры нелинейной диффузии, с обращением к теории самоорганизации (синергетики).

Синергетика и экономическая теория


Прежде чем продолжить наши рассуждения, поясним, что мы понимаем под самоорганизацией.3 Математическим языком концепции самоорганизации (синергетики) является исследовательская программа качественного анализа динамических систем А.Пуанкаре, выдвинутая им в конце XIX века. Она послужила основой для исследований теории нелинейных колебаний и волн, теории бифуркаций, и др. Междисциплинарное направление исследований “теория самоорганизации” сложилось при слиянии концепций нескольких изначально независимых направлений: кибернетики, термодинамики необратимых процессов, кинетической теории химических реакций, экологии, физической теории фазовых переходов, фрактальной геометрии – после того, как выяснилось, что во всех вышеперечисленных областях, при всем их разнообразии, процессы образования нетривиальных пространственных и/или временных структур без специфического воздействия извне описываются качественно подобными системами уравнений. Мультидисциплинарный успех синергетики последних десятилетий стимулирует дальнейшее ее приложение (как эвристического шаблона – в виде целенаправленного поиска способов описывать процессы как самоорганизующиеся) в других областях как естественных, так и общественных наук, в том числе и в экономике.4

Следует отметить, что ряд исследователей высказывали сомнения в плодотворности расширения области приложения синергетики на гуманитарные дисциплины. Так, В.Б.Губин, критикуя приложение синергетики в гуманитарных дисциплинах, пишет: «…ничего такого конкретного, как классическая термодинамика, и тем более линейного в качестве аналогии своим наукам они [гуманитарии] не воображали и ничего нового в их делах не появилось с развитием синергетики»5. Соглашаясь с В.Б.Губиным в том, что синергетический подход не должен сводиться к жонглированию новыми терминами (и не вступая в дискуссию по поводу гуманитарных наук в целом), заметим, тем не менее, что конкретно к экономике приведенная цитата отнесена быть не может. Уже с XVIII века (А.Смит) экономическая теория является предметом формального анализа на основе моделей атомизированного поведения отдельных субъектов (в ХХ веке, как правило - с максимизацией функции полезности как основой для математических моделей). При всем разнообразии таких подходов, они, в принципе, могут быть сопоставлены на формально-математическом уровне с уравнениями равновесной термодинамики. Безусловно, во многих случаях модели общего экономического равновесия в той или иной (часто – в очень значительной) степени адекватны процессам, происходящим в реальной экономике. Тем не менее, это происходит не всегда: в таких областях, как фондовые и финансовые рынки, денежное обращение и кредит, экономические системы могут оставаться неравновесными неопределенно долгое время. По нашему мнению, все эти проблемные для современной экономической теории области и характеризуются развитием процессов экономических самоорганизации для этих случаев аналогия с нелинейной термодинамикой перестает быть сугубо формальной).


Важно отметить разницу в трактовке понятия «экономическая самоорганизация» с точки зрения обыденного и научного мышления. С точки зрения обыденного мышления самоорганизацией весьма часто именуют процесс рыночной балансировки цен. С синергетической же точки зрения этот процесс является не самоорганизацией, а достижением экономической системой положения равновесия в результате действия в ней механизмов обратной связи.6 В самом деле: «невидимая рука» рынка не создает пространственно-временные структуры (различия в ценах, норме прибыли, и т.д.), а, напротив, нивелирует их. Самоорганизация в экономике в строгом смысле этого понятия – это процессы самопроизвольного нарушения рыночной регуляции, с образованием устойчивых различий в тех или иных параметрах в различных частях (временных интервалах) экономической системы. Это такие явления, как циклы деловой конъюнктуры «подъем-спад» (колебательный режим), устойчивые отклонения обменных курсов валют от теоретически-равновесных значений, биржевые паники (режим хаотический), и т.д. Большая часть синергетических эффектов такого рода представляется с прагматической точки зрения вредными помехами, нежелательными с точки зрения интересов общества в целом (приводящими к искажению информации, переносимой системой цен). Но для того, чтобы эти эффекты можно было предотвращать, следует как минимум понять, что лежит в их основе.

Необходимое условие для реализации процессов самоорганизации – способность элементов системы вступать как минимум в два качественно различных типа взаимодействия.7 Элементы экономических систем удовлетворяют этому условию: с одной стороны, в экономике происходит обмен товарами (материальными предметами), с другой стороны, этот процесс имеет сопровождение в денежной (т.е. информационной) форме. Это порождает различные эффекты запаздывания сигнала (в силу разнесенности во времени и пространстве экономических трансакций: в конечном счете это оказывается оборотной стороной удобства, связанного с использованием денег). Так, в реальной экономике, в отличие от идеальных макроэкономических моделей, ликвидация дисбаланса между спросом (C) и предложением (Y) не происходит мгновенно, а требует определенного характеристического времени (t). Как показано в ряде работ,8 при превышении критического отношения C-Y к t решения системы макроэкономических уравнений не сходятся к точке равновения, а переходят в колебательный, а затем детерминированно-хаотический режим. Бифуркационные переходы в системах макроэкономических уравнений (с изменением основных макроэкономических показателей) могут возникать в результате целенаправленного перераспределения доходов.9 Наконец, нелинейные эффекты могут быть связаны с субъективным влиянием на ход экономических процессов действий участников, примерами чего служат валютный и фондовый рынки: « [в естественных науках] существует только односторонняя связь между утверждениями и фактами… Если утверждение соответствует фактам, оно истинно, если нет, то оно ложно. Но в случае с мыслящими участниками все складывается по-другому... С одной стороны, участники пытаются понять ситуацию, в которой они участвуют. Они пытаются создать картину, соответствующую реальности. Я называю это пассивной, или когнитивной, функцией. С другой стороны, они пытаются оказать влияние, подделать реальность под их желания. Я называю это активной функцией, или функцией участника. Когда реализуются одновременно обе функции, — я называю такую ситуацию рефлексивной10… Когда обе функции реализуются одновременно, они могут вмешиваться в действия друг друга... Следовательно, понимание участников не может рассматриваться как объективное знание. И поскольку их решения не опираются на объективное знание, то, естественно, результат будет расходиться с их ожиданиями».11

Отметим, что нелинейные эффекты рассогласования спроса и предложения есть частный случай влияний на экономическую действительность принципиального несовершенства мышления участников: такое рассогласование есть следствие того, что при задержке информации, проходящей через систему цен (а эта задержка в условиях крупного производства неизбежна), инвестор вынужден моделировать будущую конъюнктуру; кризис есть ничто иное, как следствие несовершенства моделей, на основе которых инвесторы принимают решения о разворачивании избыточных производственных мощностей («если в этом году спрос повысился в два раза, значит, и в следующем он будет расти…»). Но если в случае дисбаланса спроса-предложения можно хотя бы теоретически представить создание совершенных моделей формирования спроса (так как спрос и предложение формируются различными субъектами рынка, и действия инвесторов не связаны с покупателями), то в случае фондового рынка действия участника непосредственно меняют конъюнктуру рынка – то есть степень рефлексивности процесса в этом случае значительно выше.

Моделирование финансовых систем


При рассмотрении фондового или валютного рынка адекватен, по нашему мнению, микроэкономический подход, но (в отличие от неоклассической идеализации рационального эгоизма): дополненный некими дополнительными параметрами, отражающими рефлексивность (в терминологии Дж.Сороса). Это означает ничто иное, как учет факта, что в реальности люди принимают решения не только на основе цен, но и пользуясь иными, качественно отличающимися каналами передачи информации (от промышленного шпионажа до политических новостей). С точки зрения экономического описания это же будет означать, что предельная полезность меняется не только в результате обмена на рынке, но и по каким-то дополнительным причинам.

Решение этой задачи – дело отнюдь не тривиальное. Тот же Дж. Сорос по этому поводу пишет: «…(синергетический) подход более пригоден для изучения общественных явлений, по сравнению с аналитическими методами. Но даже и здесь приходится сталкиваться с недостаточным пониманием различий между общественными и природными явлениями.”12

Тем не менее, попробуем продвинуться в нашем исследовании, поставив вопрос об адекватном аналоге рефлексивного финансового процесса среди моделей теории самоорганизации. На наш взгляд, в первом приближении таким аналогом может выступить модельное уравнение распространения тепла в нелинейной среде с горением:13

(1) Тt=(k(Т) Тx)x + k2 Т,

где Т – температура;

t – время;

Тt = Т/t (первая производная, то есть скорость изменения температуры во времени);

k(T) – нелинейный коэффициент теплопроводности, меняющийся в зависимости от изменения температуры: k(T) = k1 Т;

k1,2 – коэффициенты (k1,2 > 0, , > 1).

Правая часть этого уравнения состоит из двух членов, первый из которых описывает рассеяние теплоты в результате диффузии,14 второй – процесс горения. Если =1, то мы имеем дело с экспоненциальным процессом; Т в степени >1, означает, что с ростом температуры интенсивность процесса горения нарастает более интенсивно, чем в экспоненциальном случае. Если процесс достаточно длительное время развивается по такому закону, то мы имеем дело с режимом с обострением (достижением бесконечной температуры за конечное время). Теория этих процессов, описываемых модельным уравнением (1), подробно рассматривается в ряде работ.15 Основные качественные различия в видах режимов возникают в зависимости от отношения  и , то есть от сравнительной интенсивности генерации тепла, и его диффузии. Если +1=, то горение локализуется в области максимального начального теплового возмущения с характеристической длиной LT, имеет место самоподдерживающаяся тепловая изоляция активной зоны процесса, с тенденцией к бесконечному возрастанию температуры в зоне локализации (S-режим: см. рис. 1, а). В случае, если тепло генерируется более интенсивно, чем рассеивается (+1<) мы имеем дело с LS-режимом горения (см. рис. 1, в). При нем тепло также локализуется в области максимального начального теплового возмущения с характеристической длиной LT, однако максимальный пик Т с развитием процесса сужается (в отличие от S-режима, где его ширина равна LT). Наконец, в случае +1>когда диффузия преобладает над генерацией тепла, процесс развивается в HS-режиме (рис. 1, б): температура в этом случае стремится к бесконечному росту во всех точках. Понятно, что если 1процесс всегда развивается в HS-режиме.

Теперь дадим интерпретацию уравнения (1) с точки зрения процессов роста котировок на фондовом рынке (в контексте моделирования рефлексивного процесса). Среда, в которой происходит процесс, характеризуемая координатой х (0  x  N) – интерпретируется как различные виды выставляемых на торги ценных бумаг (ЦБ), общим числом N (если N достаточно велико, то использование непрерывной функции здесь оправдано). Т в точке х – степень желания участников торгов купить акцию «х», то есть субъективная «полезность» данной ЦБ: если Тх=0, то это значит, что отношение доходность/цена для данной ЦБ «х» средняя для данного рынка; если Тх>0, то это значит, что существует ажиотажный спрос на «х»; с ростом Т растет, соответственно, и цена «х».16 Диффузии тепла (первый член уравнения (1)) соответствует процесс сглаживания ажиотажных отклонений цен в процессе торгов.17 Наконец, аналог горения (второй член уравнения (1)) – и есть собственно рефлексивный процесс, в котором акции растут в цене потому, что они растут в цене. Как известно из практических наблюдений, в случаях ажиотажного спроса процесс нарастает лавинообразно, что и отражается в степенной зависимости с коэффициентом >1 (всякий процесс распространения информации развивается по принципу цепной реакции, и адекватно моделируется степенной функцией). Первоисточником данного аналога горения (то есть роста ажиотажной информации) может быть как случайная флуктуация, так и спланированная кем-либо извне акция – в рамках рассматриваемой модели это не важно. В рамках нашей аналогии LS- и S-режимы соответствуют лавинообразному росту отдельных ЦБ или групп ЦБ (типа феномена МММ); НS-режим – это рост финансового пузыря в размере рынка в целом (типа роста котировок высокотехнологичных компаний на фондовом рынке США 90-х годов).

Теперь попробуем сделать нашу достаточно абстрактную модель более реалистичной. В действительности процессы ажиотажного роста котировок (также как и горение) никогда не идут до бесконечности. В модели (1) это может быть учтено либо введением ступенчатой функции  (исключающей член k2Т при достижении Т порогового значения ), либо добавкой в базовое уравнение (1) третьего члена, - в этом случае исследуемое уравнение примет вид:

(2) Тt=(k(Т) Тx)x + k2 Т- k3 Т,

при условии (k2 > k3,  > ). В случае рассмотрения тепловых процессов введенный нами новый член отражает тот факт, что с развитием процесса топливо выгорает, или начинаются эндотермические реакции с поглощением тепла. В модели фондового рынка данный член отражает следующую эмпирическую закономерность: чем сильнее котировка «перегрета», тем выше вероятность, что участники торгов будут выходить из игры – в сущности, этот член отражает ничто иное, как связь с реальностью, отраженную в реальной степени доходности ЦБ.

Следующий шаг в конкретизации нашей модели – учет того, что, в отличие от горения, ажиотажный спрос возникает не при любой флуктуации первичного распределения Т, а лишь при превышении значения Т какого-то критического порога (часто весьма значительного). Этого можно добиться введением ступенчатой функции , ограничивающей член k2Т снизу (=0, если k2Т< , в ином случае  =1):

(3) Тt=(k(Т) Тx)x + k2 Т- k3 Т

Далее, в общем случае значения коэффициентов k1,2,3 ,   для разных участников торгов (их общее число обозначим N, а конкретный участник будет отмечаться индексом j) будут отличаться (можно предположить, что все эти коэффициенты будут связаны между собой определенными пропорциями, а абсолютное значение их будет функцией финансовых резервов конкретного участника торгов). В этом случае от уравнения (3) мы переходим к системе n уравнений:

(4) Тj t=(kjj) Тj x)x + kj 2 (j=1..N Тj)- kj 3 Тj j ,2 N

Суммирование по j j=1..N Тj означает, что ажиотажный спрос растет как степенная функция от совокупного «перегрева» оценки той или иной ЦБ всеми участниками торгов (общеизвестно, что паника, в том числе и финансовая, есть «стадное чувство»),18 в то время как «остывает» каждый участник индивидуально.

Наконец, для численного исследования нашей модели19 следует произвести переход от дифференциальных уравнений к дискретному отображению. Заметим, впрочем, что если при исследовании физических систем такого рода переход есть вынужденный компромисс, связанный с невозможностью аналитического решения нелинейных уравнений, то в случае анализируемой нами ситуации фондового рынка как раз дифференциальные уравнения являются менее точной моделью, нежели дискретные разностные схемы. К дифференциальным уравнениям исследователи экономико-математических моделей прибегают в силу развитого аппарата их исследования, однако переход от экономической реальности к дифференциальному исчислению предполагает гипотезы непрерывности и полной выпуклости – в общем случае неадекватные экономическим реалиям.20 В прообразе нашей модели дискретны и виды ЦБ, и сами участники, и время (ибо торги, как правило, идут с определенным временным интервалом). Для общего количества видов ЦБ = X и количества участников N мы можем построить клеточный автомат Х * N, каждая клетка которого содержит значения Tj,x (х = 1,2.. Х; j ,2 N), получаемые на каждом последующем шаге отображением T  t+1T (индексы j,x при T, k1, k2, k3 для компактности записи опущены):

(5) t+1T = T + k1 Т (Тх-1, х, х+1) +  k2(j=1..N Т)- k 3Т,

где Тх-1, х, х+1 есть разница значений Т между соседними клетками (разностный аналог градиента).



дискретное отображение (5) позволяет моделировать условия запуска рефлексивного фондового процесса. Возможны два принципиально различных рефлексивных источника нестабильности фондового рынка: случайные флуктуации, и целенаправленная спекулятивная деятельность. Оба этих процесса могут быть отражены предлагаемым нами клеточным автоматом: случайные флуктуации моделируются тем или иным начальным неравновесным распределением Т; спекуляции же можно моделировать, задав возможность для некоторых участников (клеточек нашего автомата) изменять Т независимо от закона функционирования автомата (5).21

Такое численное моделирование было нами проведено с использованием пакетов MathCad и Pascal-Delphi. Как в одномерном (N = 1), так и в двумерном случае заданием инициирующей флуктуации мы легко получили рост Т с обострением, качественно различающийся (LS-, S-, HS-режимы) в зависимости от соотношения  и . В отличие от случайных флуктуаций, целенаправленная спекулятивная деятельность (когда ряд игроков по предварительному сговору понижают/повышают цену неких ценных бумаг, чтобы запустить рефлексивный процесс, а затем скупить/продать их на волне ажиотажа) моделируется системой (5) допущением для некоторых участников N(j) изменять некоторые Т(x) независимо от закона функционирования исследуемой модели: это дает возможность держать повышенные значения для некоторых Т(x) неопределенно долго.

Главный недостаток уравнений (1-5) как аналогов рефлексивного финансового процесса в том, что они предполагают задание меры по х: ЦБ в рамках моделей (1-5) фактически расположены в единый ряд, соседние точки которого как-то связаны между собой своими свойствами, так что флуктуации котировок в конкретной точке х(0) сказываются сначала на наиболее близких по свойствам к инициаторам ЦБ, затем во все более слабом виде распространяются дальше. Это – наименее реалистичное предположение модели. Можно ли модифицировать модель так, чтобы отказаться от этого предварительного условия?

Эту модификацию мы нашли, предположив, что в общем случае изменение цены на какую-либо ЦБ меняет предпочтения участника к другим ЦБ случайным образом. Для этого для каждого участника торгов мы строим двумерную матрицу (А) взаимосвязи цен ЦБ размерностью [х*х], содержащую случайные числа. Соответственно, член (Тх-1, х, х+1), моделирующий в дискретном отображении (5) диффузию, замещается на суммирование по х, и мы получаем следующий клеточный автомат:

(6) t+1T = T + k1 Т (j=1..xх0)*А[x,0]) +  k2(j=1..N Т)- k 3Т,
В отличие от системы (5), подобие клеточного автомата (6) и уравнения (1) интуитивно совсем не очевидно. Введенный нами новый член – тоже в некотором роде диффузия, но она описывается в форме, которая никак не является аналогом дифференциального оператора Лапласа. Вследствие этого исследование этого нового дискретного отображения может быть только численным (во всяком случае, способы аналитического исследования такого рода выражений нам неизвестны), и результаты его заранее непредсказуемы (в отличие от системы (5), результаты исследования которой, напротив, были вполне ожидаемы). Может ли отображение (6) демонстрировать режимы с обострением? В численном исследовании (6) нами были обнаружены LS-режимы с обострением: при условиях k1 >> k2, k3 ≈ 0, β > α+1 (например: k1 = 0.001, k2 = 0.1, β = 2.6, α = 1.5).22 По нашему мнению, это обнаружение режимов с обострением подтверждает законность нашей аналогии рефлексивных финансовых процессов и нелинейного горения.

Конечно, мы отдаем отчет в том, что сущность любой аналогии – неполнота, и численный эксперимент существенно слабее строгого аналитического доказательства. В данном случае, однако, аналитическое исследование свойств отображения (6) вряд ли возможно, а полученные для системы (6) режимы с обострением, которые можно поставить в соответствие процессам биржевых паник и спекуляций, позволяет нам рассматривать данный клеточный автомат как базовую модель рефлексивных финансовых процессов.

Подводя итог нашему исследованию рефлексивных финансовых процессов, отметим: уже достаточно простые микро-модели показывают возможности перехода финансово-экономической системы в неустойчивый режим с обострением (как в результате случайной флуктуации, так и целенаправленной финансовой игры): любой рефлексивный процесс подвержен резким и принципиально непредсказуемым колебаниям. Исключение – целенаправленная финансовая игра, для организаторов которой результат, конечно, предсказуем. За счет такого рода игр возникают сверхприбыли финансовых спекулянтов. С точки же зрения интересов общества как целого такого рода колебания – явление крайне неблагоприятное. Модели самоорганизации в экономике позволяют заключить, что в конечном счете негативные эффекты экономической самоорганизации оказываются оборотной стороной удобства, связанного с использованием денег. На макроэкономическом уровне деньги – информационный агент, передающий сигналы между различными частями экономической системы; любые колебания искажают информационный сигнал, и хаотизируют экономику. Из этого вытекает, что одной из главных задач денежной политики любого государства должно бы быть: минимизировать негативные рефлексивные эффекты денежного обращения.

В завершение работы отметим, что уже сегодня существует ряд эффективных предложений по ограничению финансовых спекуляций (например, «налог Тобина» - Джеймс Тобин, лауреат Нобелевской премии по экономике, предложил ввести налог на продажу валюты в размере 1 %. Так как маржа при международных валютных спекуляциях относительно невелика, а сверхдоход дают огромные объемы и многоэтапность сделок, такой налог может полностью блокировать всякую спекулятивную деятельность на международном уровне). Введение их, однако, тормозится по причинам политического, а не теоретико-экономического толка.



Рис. 1. Профили температуры Т для различных моментов времени (числа у кривых) в случае S-режима (а), НS-режима (б), LS-режима (в).23


1 Мартин Г., Шуман Х. Западня глобализации. М.: 2001, с. 81-82; см. также: Сорос Дж. Кризис мирового капитализма. Открытое общество в опасности. М.: ИНФРА-М, 1999.

2 Так, Н.Абдулгамидовым и С.Губановым показано, что процесс финансовой глобализации может быть представлен как ряд последовательных циклов попеременного искусственного раздувания либо рынков акций ведущих корпораций США, либо рынка государственных облигаций, с последующими управляемыми биржевыми крахами, потери в которых несут почти исключительно не-американцы. - Абдулгамидов Н., Губанов С. Двойные стандарты однополюсной глобализации // Экономист. № 12. 2003. С. 20-38.

3 Научно-философская мода на теорию самоорганизации привела к такому потоку публикаций на эту тему, что сам термин «самоорганизация» в глазах многих серьезных исследователей оказался несколько дискредитированным; поэтому мы считаем необходимым в данном разделе раскрыть нашу трактовку синергетической проблематики: относительно кратко, отсылая заинтересованного в более основательном анализе этого вопроса читателя к специализированным работам (Хакен Г. Синергетика. М.: Мир, 1980; Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введение в синергетику. М.: Наука, 1990, и др.).

4 Занг В.Б. Синергетическая экономика. М: Мир, 1999; Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на цикличность, цены и изменчивость рынка. М.: Мир, 2000; Лебедев В.В., Лебедев К.В. Математическое и компьютерное моделирование экономики. М.: НВТ-Дизайн, 2002, и др.

5 Губин В.Б. Синергетика как новый пирог для «постнеклассических ученых» или отзыв на автореферат докторской диссертации // Философские науки, № 2, 2003, с.123.

6 По этому поводу авторы сборника «Новое в синергетике» справедливо замечают: «…ссылки на «самоорганизацию», благодаря которой «рынок автоматически решит все проблемы», которыми грешили Г.Попов, Е.Гайдар и другие экономисты несколько лет назад, уже сейчас выглядят нелепостью.» : Новое в синергетике. М.: Наука, 1996. С. 7.

7 Подробнее об этом см.: Егоров Д.Г. Самоорганизация, энтропия, развитие: "порядок из хаоса" или "порядок из автономности"? // Философия науки. № 1 (16), 2003. С. 3-17; Егоров Д.Г., Егорова А.В. Самоорганизация экономического процесса с позиций нелинейной термодинамики // Общественные науки и современность. № 4, 2003. С. 135-146.

8 Шананин А.А. Об устойчивости рыночных механизмов // Математическое моделирование. 1991. Т. 3. № 2; Лебедев В.В., Лебедев К.В. Математическое и компьютерное моделирование экономики, и др.

9 Чернавский Д.С., Старков Н.И., Щербаков А.В. О проблемах физической экономики // Успехи физических наук. 2002. Т. 172. № 9.

10 В дальнейшем изложении мы будем использовать понятие рефлексивгого финансового процесса, под которым мы, вслед за Соросом, понимаем такие последовательности событий на фондовых и валютных рынках, на ход которых оказывают существенное влияние мысли и представления участников.

11 Сорос Дж. Кризис мирового капитализма. Открытое общество в опасности. С. 17.

12 Сорос Дж. Мои философские взгляды // Соросовский образовательный журнал, № 2. 1996. С. 7.

13 Другим типом модельных систем, глубоко исследованных в последние десятилетия, являются системы уравнений типа «реакция-диффузия» («брюсселятор», и др.: см. подробнее Пригожин И.Р., Стенгерс И. Время, хаос и квант: К решению парадокса времени. М.: Прогресс, 1999). В результате их решения при определенных отношениях управляющих параметров получаются стационарные пространственно-временные структуры. В отличие от моделей типа «брюсселятор», модели нелинейной среды с горением дают при решении нестационарные структуры: возникающие локально, некоторое время живущие, и распадающиеся. Кроме того, в системах типа «брюсселятор» бифуркации (т.е. ветвление решений, на макро-уровне проявляющееся как смена режима функционирования системы) возможны, как правило, при изменении параметров среды, в то время как в моделях нелинейной среды с горением они возможны при изменении только лишь начальных условий. Все эти свойства наблюдаются и на финансовых рынках, что и обусловливает наш выбор.

14 Уравнение (2) моделирует одномерный процесс по пространственной координате х; при переходе к двух- или 3-мерному процессу вторую производную Т по х следует, соответственно, заменить на дифференциальный оператор Лапласа.

15 Режимы с обострением. М.: Наука, 1998, и др.

16 при численном моделировании мы можем выражать Т в безразмерных единицах. Связь Т с ценой задается некоей функцией полезности; нахождение ее конкретного вида – отдельный вопрос, выходящий за пределы нашего исследования.

17 В случае рассматриваемого нами одномерного приближения предполагается, что ценные бумаги могут быть расположены в единый ряд, соседние точки которого как-то связаны между собой своими свойствами, так что флуктуации котировок в точке х0 сказываются сначала на наиболее близких по свойствам к инициаторам ценных бумагах, затем во все более слабом виде распространяются дальше. В общем случае можно рассматривать многомерное пространство ЦБ, с соответствующим переходом к многомерной диффузии. Чем выше размерность этого идеального пространства, тем выше степень связи различных типов ЦБ между собой. Далее мы обсуждаем эту проблему подробнее.

18 Такое простое суммирование предполагает, что информация о предпочтениях участников распространяется мгновенно, что соответствует условиям фондового рынка. В общем случае можно построить более сложную модель, где рассматриваемая сумма будет заменена на j f(Tj, rj), где rj – информационное расстояние, то есть степень влияния на конкретного участника оценок других субъектов.

19 Этот шаг необходим, так как аналитическое исследование такого рода систем в общем случае не может быть выполнено – современная математическая физика не умеет (за редкими исключениями) решать нелинейных уравнений.

20 См., например: Алле М. Условия эффективности в экономике. М., 1998. С. 229-234, 254.

21 В сущности, это и есть схема любой спекулятивной биржевой операции: ряд игроков по предварительному сговору понижают (повышают) цену неких ЦБ, чтобы запустить рефлексивный процесс, а затем скупить (продать) эти ЦБ на волне ажиотажа.

22 при условии строгого равенства β = α+1 S-режим в системе (6) обнаружен не был

23 Режимы с обострением. С. 42.